lim x gegen unendlich (cos (1/x))x

Question

es geht um folgenden Grenzwert:

lim_x→∞ (cos (1/x))^x

Da würde ja jetzt grundsätzlich dann 1 hoch ∞ stehen, was ein unbestimmter Ausdruck ist. Wie (oder überhaupt?) kann ich hierbei l'Hospital anwenden bzw. macht dies da Sinn?

Comments

Hi,

ich würde das umschreiben zu $$e{ }^{ x(ln(cos\frac { 1 }{ x }) }$$ also a=e^ln(a)

Wäre also meine Idee

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Der Ansatz ist richtig. Willst du auch weitermachen?

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Juhhu :)

ja ich mach grad weiter :)

aber ich hab ein Problem. Wie forme ich das in ein Bruch um?

$$\lim_{x\to∞}e{ }^{ x(ln(cos\frac { 1 }{ x })) }$$

ist das so richtig als Bruch? $$\lim_{x\to∞}e{ }^{\frac { ln(cos(\frac { 1 }{ x } }{ \frac { 1 }{ x } } }$$

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Ja das sieht richtig aus. Schließe aber auch die Klammern wieder.

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Ok gut, aber ich komme leider nicht mehr weiter (siehe bei meiner Antwort)

also beim ableiten...keine ahnung wie ich ln(cos(1/x)) ableiten soll...klar kettenegel aber...

Answer 1

Hi,

ich versuch mich einfach mal. Aber nur zur info: Ich hatte die Grenzwertberechnung noch nicht in der Schule und deshalb Angaben ohne Gewähr :)

$$\lim_{x\to∞}cos(\frac { 1 }{ x })^x$$
$$\lim_{x\to∞}e{ }^{ x(ln(cos\frac { 1 }{ x })) }$$
$$\lim_{x\to∞}e{ }^{\frac { ln(cos(\frac { 1 }{ x } }{ \frac { 1 }{ x } } }$$

Zähler und Nenner gehen beide gegen 0 also ist l'hospital anwendbar!

Jetzt musst Du die Ableitungen bilden vom Zähler und Nenner, aber einzel ableiten!

Das schaff ich hier glaube ich nicht... kommst Du nun alleine weiter?

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Hier kann man einen Trick machen.

Wenn 1/x gegen unendlich geht dann kann man auch x gegen 0 gehen lassen.

Also ersetze 1/x durch x und ersetze unendlich durch 0.

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Langsam ..ich komm nicht mit. Ich muss doch jetzt Zähler und Nenner getrennt ableiten?

Nenner abzuleiten ist ja nicht schwer, aber den Zähler....

und lim_x->∞ 1/x geht doch gegen 0? und nicht gegen Unendlich?

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Schau dir das bei meiner Lösung an. Plötzlich schreibe ich da nicht mehr als Grenzwert unendlich sondern 0. Warum mache ich das?

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Ja das hab ich mich auch gefragt als ich mir deine Lösung angeschaut habe. Ich überlege mal...

Answer 2

lim (n → ∞) COS(1/n)ⁿ

lim (n → ∞) EXP(LN(COS(1/n)ⁿ))

Wir betrachten den Grenzwert des Exponenten

lim (n → ∞) LN(COS(1/n)ⁿ)

lim (n → ∞) n·LN(COS(1/n))

lim (n → 0) 1/n·LN(COS(n))

lim (n → 0) LN(COS(n)) / n

L'Hospital

lim (n → 0) - TAN(n) / 1 = 0

Nun betrachten wir wieder den ganzen Aussdruck

lim (n → ∞) EXP(LN(COS(1/n)ⁿ)) = EXP(0) = 1

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Meine Antwort sieht neben deiner richtig falsch aus^^ (aber bin ja nicht fertig. Ich komme leider nur soweit).

Stimmt es aber bei mir bis dort hin?

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Warum betrachtest du denn beim vierten Schritt den lim (n → 0) und nicht mehr lim (n→ ∞).
Also mir ist zwar klar, auf was du kommen willst, aber nicht, wie ich das so einfach verändern darf?

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lim (n → ∞) 1/n

= lim (n → 0) n

Wenn ich den Kehrwert meiner Variablen nehme kann ich den Grenzwert gegen 0 laufen lassen. Das macht das Ganze etwas übersichtlicher.

Answer 3

lim_x→∞ (cos (1/x))^x

Da würde ja jetzt grundsätzlich dann 1 hoch ∞ stehen, was ein
unbestimmter Ausdruck ist.

1/∞ = 0
cos(0) = 1

1^1 = 1
1^2 = 1
1^3 = 1
es ist zu vermuten das
1^{∞} auch 1  ist

Die 1 unendlich mal mit sich selbst malgenommen ergibt 1.

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Der Grenzwert 1 stimmt zwar, aber die Begründung nicht.
Mit derselben Begründung könnte man ja auch sagen: $\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=1$, obwohl dieser Grenzwert bekanntlich $e$ ist.

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Allerdings kann $\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac xn\right)^n=\mathrm e^x$ jeden positiven Wert annehmen. Das ginge auch mit $\left(\sqrt[n]x\right)^n=x$ für $x>0$, womit man auch schnell zu $\left(\sqrt[n]2\right)^{n^2}=\infty$ und $\left(\frac1{\sqrt[n]2}\right)^{n^2}=0$ kommt.