Seien m≠-1 mod 3 und n=1 mod 3. Zeigen Sie: Das Polynom p(x)=x^{3}+m x+n hat keine ganzzahlige Nullstelle.

Question

Aufgabe Elementare Zahlentheorie:

Seien \( m \) und \( n \) zwei ganze Zahlen mit \( m \equiv-1 \bmod 3 \) und \( n \equiv 1 \bmod 3 \).

Zeigen Sie: Das Polynom \( p(x)=x^{3}+m x+n \) hat keine ganzzahlige Nullstelle.

Hinweis: Rechnen Sie in \( \mathbb{Z} / 3 \).

Answer 1

Hätte p eine ganzzahlige Nullstelle, dann wäre diese mod 3 auch eine Nullstelle.
Also schreibst du in Z/3    p(x)=x^3 - x  + 1       (also m=-1 und n=1)
Jetzt probieren wir die drei Elemente von Z/3 aus
p(0)=1
p(1)=1
p(2)=2 - 2 + 1 =1
Es gilt also nie p(x)=0, also gibt es keine Nullstellen.

Answer 2

Modulo \(3\) gilt:

$$p(x)=x^3+mx+n\equiv x^3-x+1\equiv (x-1)\cdot x\cdot(x+1)+1\mod3,$$also \(p(x)\equiv1\mod3\) für alle \(x\in\mathbb Z\).

Für jedes \(x\in\mathbb Z\) ist genau eine der Zahlen \(x-1,x,x+1\) ist ein ganzzahliges Vielfaches von \(3\) und damit auch deren Produkt. Modulo \(3\) bleibt dann nur noch \(p(x)\equiv1\) übrig.