Sei U c R, sei f:U -> R^m eine Abbildung und sei a Element U. Zeige Aquivalenz und f ist stetig

Question

Sei U c R, sei f:U -> R^m eine Abbildung und sei a Element U.

1.) Äquivalent sind:

            a) f stetig in a

            b) Für jede Folge (xn) c U mit lim xn= a gilt lim f(xn)=f(a)   für n gegen unendlich

2.) Zeige f:R^2 -> R^2 stetig

                  f(x,y)= (2xy , x^2-y^2) für x < oder = y

                               (x^2+y^2 , 0) für x>y

Comments

wäre gut wenn einer helfen könnte. Danke.

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hat denn keiner eine Ahnung wie das geht?

Answer 1

die Äquivalenz von euren Definitionen für "Folgenstetig" und "stetig" (epsilon-delta?) zeigst du, in dem du dir sie erstmal sauber aufschreibst. Dann zeigst du beide Richtungen der Äquivalenz, benutzt als Zwischenschritt noch die Definition von Konvergenz.

bei 2) benutzt du deine Voraussetzungen und zeigst die folgenstetigkeit für diese Punkte, dann argumentierst du mit 1), dass die Funktion dort auch stetig ist.

Gruß