Question

Die Eulersche Beta-Funktion wird definiert durch das (ggf. uneigentliche) Integral

B(x,y) := ∫₀¹  t^x-1(1-t)^y-1dt

Zeigen Sie:
(a) B(x,y) konvergiert für alle positiven reellen Zahlen x und y.
(b) B(x,y) divergiert, falls x ≤ 0 oder y ≤ 0.

Answer 1

Hi,
die Betafunktion ist ja so definiert
$$B(x,y)=\int_0^1 t^{x-1}(1-x)^{y-1}dt$$
Zu (a)
Für $x-1\ge 0$ und $y-1\ge 1$ ist der Integrant eine beschränkte Funktion die $\le 1$ ist, deshalb existiert das Integral.
Falls $0 < x < 1$ und $0 < y < 1$ gilt, kann man den Integranten  wie folgt abschätzten.
$$t^{x-1}(1-t)^{y-1}\le t^{x-1}\left(\frac{1}{2}\right)^{y-1} \text{ für } 0 \le t \le \frac{1}{2}$$ und
$$t^{x-1}(1-t)^{y-1}\le \left(\frac{1}{2}\right)^{x-1}(1-t)^{y-1} \text{ für } \frac{1}{2} \le t \le 1$$
Für die Fälle $0 < x < 1$ und $y > 1$ oder $0 < y < 1$ und $x > 1$ kann den Term mit dem Exponenten der $\ge 0$ ist durch $1$ nach oben abschätzten.
Übrig bleibt, das man die Integranten $t^{x-1}$ bzw. $(1-t)^{y-1}$ betrachten muss. Entweder im Bereich $[0, \frac{1}{2}]$ ,$[ \frac{1}{2}, 1]$ oder $[0, 1]$
In allen Fällen ergibt sich die Konvergenz des Integrals.

Zu (b)
Wenn $x\le 0$ oder  $y \le 0$ gilt, gibt es die divergente Minorante $x^{-1}$
Damit ist alles gezeigt.