Für \( { a }_{ 0 },\dots ,{ a }_{ n-1 }\in K \) und stetiges \(b:\) \( ]0,∞[\) \(→ K \) bezeichnet man $$ { y }^{ (n) }(x)+\sum _{ j=0 }^{ n-1 }{ { a }_{ j } } { x }^{ j-n }{ y }^{ (j) }(x)=b(x),\quad x>0, $$ als Eulersche Differentialgleichung. Zeigen Sie für \( n = 1, 2, 3,\) dass die Eulersche Differentialgleichung durch die Substitution \( w(t) = y({ e }^{ t }) \) in eine lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten übergeht. Geben Sie diese Differentialgleichung an, aber lösen Sie diese nicht.
Bemerkung: Man kann zeigen, dass die angegebene Substitution für alle \( n \) zu einer linearen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten führt.
