untersuchung gebrochen-ratioanaler funktionen......

Question

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)=x³/ (-2x²+18)..

a) Gib den Definitionsbereich von f an.

b) Untersuche den Graphen von f auf Symmetrie.

c) Untersuche das Verhalten von f(x) an den Raendern des Definitionsbereichs.

d) Bestimme die Gleichungen der Asymptoten.

e) Bestimme die Achsenschnittpunkte des Graphen von f.

f) Bestimme die Extrem- und Wendepunkte des Graphen von f.

g) Zeichne den Graphen von f im Bereich -10<x<10 und -10<f(x)<10.

Answer 1

Funktion und Ableitungen

f(x) = x^3 / (18 - 2·x^2)

f'(x) = (54·x^2 - 2·x^4) / (18 - 2·x^2)^2

f''(x) = (72·x^3 + 1944·x) / (18 - 2·x^2)^3

Symmetrie

f(-x) = (- x)^3 / (18 - 2·(- x)^2) = - x^3/(2·(9 - x^2)) = - f(x) --> Punktsymmetrie zum Ursprung

Asymptote

f(x) = x^3 / (18 - 2·x^2) = - 1/2·x + 9·x/(18 - 2·x^2) --> y = - 1/2·x

Polstellen

18 - 2·x^2 = 0

x = ± 3

Verhalten an den Grenzen des Definitionsbereichs

lim (x → - ∞) f(x) = ∞

lim (x → - 3-) f(x) = ∞

lim (x → - 3+) f(x) = - ∞

lim (x → 3-) f(x) = ∞

lim (x → 3+) f(x) = - ∞

lim (x → ∞) f(x) = - ∞

Y-Achsenabschnitt f(0)

f(0) = 0

Nullstellen f(x) = 0

x^3 = 0

x = 0

Extrempunkte f'(x) = 0

54·x^2 - 2·x^4 = 0

x = 0 ∨ x = ± 3·√3 = ± 5.196

f(0) = 0 --> Sattelpunkt

f(3·√3) = - 9·√3/4 = - 3.897 --> HP(5.196 | - 3.897)

f(- 3·√3) = 9·√3/4 = 3.897 --> TP(- 5.196 | 3.897)

Wendepunkte f''(x) = 0

72·x^3 + 1944·x = 0

x = 0

f(0) = 0 --> Sattelpunkt