Rekursiv definierte Folge a0 := √2 , an+1 := √(2+an ). Zeige (an) ist streng monoton wachsend. Grenzwert?

Question

Wir definieren eine Folge (a_n )_n∈N rekursiv durch

a₀ := √2 ,

a_n+1 := √(2+a_n ) .

(i) Beweisen Sie per Induktion:

Für alle n∈N ist a_n < 2.

(ii) Leiten Sie aus (i) ab:

Die Folge (a_n )_n∈N ist streng monoton wachsend,

(iii) Beweisen Sie: lim (n→∞) a_n = 2.

Answer 1

Hi,

für den Induktionsschritt gilt unter der Voraussetzung \( a_n < 2 \)

i) $$ \sqrt{2+ a_n} < \sqrt{2 + 2} = 2 $$

ii) das die Folge streng monoton wachsend ist geht schon hervor durch \( \sqrt{2} \leq a_n < 2 \) und somit natürlich \( a_n < a_n + 2 \)

iii) Verwende \( \lim \limits_{n \to \infty} a_{n+1} =a = \lim \limits_{n \to \infty} a_n \) und die rekursive Definition der Folge.

Gruß

Comments

Danke für deine Antwort!

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Teil ii) scheint erklärungsbedürftig.

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Ein bisschen Eigenarbeit sollte schon noch erfolgen.

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Was kann man denn aus der Erkenntnis, dass \(a_n<a_n+2\) ist, schließen? Gilt das nicht für alle Folgen?

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Es müsste eigentlich

\( a_n^2 < a_n + 2 \)

heißen. Danke für den Hinweis.