lim n gegen unendlich (((n+1)(n+2)) / ((n-1)n))n * wurzel((n/(n-1))n)

Question

Hallo liebe Gemeinde,

ich komme bei einer Aufgabe überhaupt nicht weiter. Ich hoffe jemand kann mir da ein wenig helfen.

Aufgabe:

$$\underset { n\rightarrow \infty }{ lim } { (\frac { (n+1)(n+2) }{ (n-1)n } ) }^{ n }\sqrt { ({ \frac { n }{ n-1 } })^{ n } }$$

Was ich gemacht habe:

$$\underset { n\rightarrow \infty }{ lim } { \sqrt { { (\frac { (n+1)(n+2) }{ (n-1)n } ) }^{ n } } \sqrt { { (\frac { (n+1)(n+2) }{ (n-1)n } ) }^{ n } } }\sqrt { ({ \frac { n }{ n-1 } })^{ n } }$$

$$\underset { n\rightarrow \infty }{ lim } { \sqrt { { (\frac { (n+1)(n+2) }{ (n-1)n } ) }^{ n } } \sqrt { { (\frac { (n+1)(n+2)n }{ (n-1)n(n-1) } ) }^{ n } } }$$

ich habe gehofft dass es sich irgendwie alles wegkürzen würde. Aber komme nicht weiter. Kann sein dass ich hier ein ganz falschen Weg eingegangen bin.

$$\underset { n\rightarrow \infty }{ lim } { \sqrt { { (\frac { (n+1)(n+2) }{ (n-1)n } ) }^{ n } } \sqrt { { (\frac { (n+1)(n+2) }{ (n-1)(n-1) } ) }^{ n } } }$$

Kann mir jemand da weiter helfen?

Answer 1

$$\underset { n\rightarrow \infty }{ lim } { (\frac { (n+1)(n+2) }{ (n-1)n } ) }^{ n }\sqrt { ({ \frac { n }{ n-1 } })^{ n } }$$
$$\underset { n\rightarrow \infty }{ lim } { \left(\frac { (n+1)(n+2) }{ (n-1)n } \right) }^{ n } \left(\frac { n }{ (n-1) } \right)^\frac n2$$
$$\underset { n\rightarrow \infty }{ lim } { \left(\frac { (n+1)(n+2) }{ (n-1) } \right) }^{ n } \left(\frac {1 }{ n(n-1) } \right)^\frac n2$$
$$\underset { n\rightarrow \infty }{ lim } { \left(\frac { (n+1)(n+2) }{ 1 } \right) }^{ n } \left(\frac {1 }{ n(n-1)^3 } \right)^\frac n2$$

Comments

Sorry, irgendwie verstehe ich den Schritt von zwei auf drei nicht.Können Sie bitte diesen Schritt genauer erklären wenn es geht?
Gruß
Anderlin

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$${ \left(\frac { (n+1)(n+2) }{ (n-1)n } \right) }^{ n } \left(\frac { n }{ (n-1) } \right)^\frac n2$$
$$\frac { (n+1)^n(n+2)^n }{ (n-1)^nn^n } \cdot \frac { n^\frac n2 }{ (n-1)^\frac n2 }$$
$$\frac { (n+1)^n(n+2)^n }{ 1 } \frac { 1}{ (n-1)^nn^n } \cdot \frac { n^\frac n2 }{ (n-1)^\frac n2 }$$
$$\frac { (n+1)^n(n+2)^n }{ 1 } \frac { 1}{ (n-1)^n (n-1)^\frac n2 } \cdot \frac { n^\frac n2 }{n^n }$$

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Ist das ein Herumstochern im Nebel oder zielführend ?

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Der vorletzte Schritt vorm Ziel steht oben in der Antwort.

das "Stochern im Nebel" ist die Herleitung der Zwischenschritte aufgrund der Rückfrage.

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Da bin ich ehrlich gespannt wie du dann in einem Schritt zur Lösung kommst.

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ich glaube ich habs jetzt.

$$\underset { n\rightarrow \infty }{ lim } { \left( \frac { (n+1)(n+2) }{ (n-1)n } \right) }^{ n }\sqrt { { \left( \frac { n }{ n-1 } \right) }^{ n } }$$

$$\underset { n\rightarrow \infty }{ lim } { \left( \frac { (n+1)(n+2) }{ (n-1) } \right) }^{ n }{ \left( \frac { 1 }{ n } \right) }^{ n }\sqrt { { \left( \frac { n }{ n-1 } \right) }^{ n } }$$

$$\underset { n\rightarrow \infty }{ lim } { \left( \frac { (n+1)(n+2) }{ (n-1) } \right) }^{ n }\sqrt { { \left( \frac { n }{ { n }^{ 2 }(n-1) } \right) }^{ n } }$$

$$\underset { n\rightarrow \infty }{ lim } { \left( \frac { (n+1)(n+2) }{ (n-1) } \right) }^{ n }\sqrt { { \left( \frac { 1 }{ { n }(n-1) } \right) }^{ n } }$$

$$\underset { n\rightarrow \infty }{ lim } { \left( \frac { (n+1)(n+2) }{ 1 } \right) }^{ n }{ \left( \frac { 1 }{ (n-1) } \right) }^{ n }\sqrt { { \left( \frac { 1 }{ { n }(n-1) } \right) }^{ n } }$$

$$\underset { n\rightarrow \infty }{ lim } { \left( \frac { (n+1)(n+2) }{ 1 } \right) }^{ n }\sqrt { { \left( \frac { 1 }{ { n }{ (n-1) }^{ 3 } } \right) }^{ n } }$$

$$\underset { n\rightarrow \infty }{ \longrightarrow } { \infty }^{ \infty }*{ 0 }^{ \infty }\quad =\quad 0$$

Ob das jetzt so richtig ist kann ich mir selber nicht erklären.

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$$\frac { (n+1)^n(n+2)^n }{ 1 } \frac { 1}{ (n-1)^n (n-1)^\frac n2 } \cdot \frac { n^\frac n2 }{n^n }$$
$$\frac { (n+1)^n(n+2)^n }{ 1 } \frac { 1}{ (n-1)^n (n-1)^\frac n2 } \cdot \frac 1{ n^\frac n2 }$$
$$\frac { (n+1)^n(n+2)^n }{ 1 } \frac { 1}{ (n-1)^{3\frac n2} } \cdot \frac 1{ n^\frac n2 }$$
kannst Du nun bis zu Zeile drei der oben gegebenen Antwort noch folgen ?

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Meine Lösung habe ich jetzt aus deiner hergeleitet. Kann man es auch so machen wie ich es gemacht habe. In Ihrer Lösung kann man aber besser das Ziel sehen glaube ich.

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Es fehlen noch die letzten Schritte!
Unendlich ist kein bestimmter Ausdruck!

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$$\underset { n\rightarrow \infty }{ lim } { \left(\frac { (n+1)(n+2) }{ 1 } \right) }^{ n } \left(\frac {1 }{ n(n-1)^3 } \right)^\frac n2$$
$$\underset { n\rightarrow \infty }{ lim } { \left(\frac { (n+1)(n+2) }{ 1 } \right) }^{ n } \sqrt{\frac {1 }{ n(n-1)^3 } }^n$$
$$\underset { n\rightarrow \infty }{ lim } { \left(\frac { (n^2+3n+2) }{ 1 } \right) }^{ n } \sqrt{\frac {1 }{ n^4-n^3 } }^n$$
$$\underset { n\rightarrow \infty }{ lim } { \left(\frac { (n^2+3n+2) }{ 1 } \cdot \frac {1 }{ n^2-n^\frac 32 } \right) }^{ n }$$

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Nur die höchsten Potenzen von Z und N werden noch eine Rolle spielen:
$$\underset { n\rightarrow \infty }{ lim } { \left(\frac { n^2 }{ n^2 } \right) }^{ n }$$
$$1^\infty =1$$
fertsch!

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fertsch!

Was immer das heißen soll, "fertig" auf gar keinen Fall

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Dann ergänze doch bitte konstruktiv!

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Eine Ergänzung ist völlig unmöglich, weil sich deine zwei Fehler im Beitrag oben (der nach "unendlich ist kein bestimmter Ausdruck" steht) nicht gegenseitig aufheben, das ließe sich aber notfalls verbessern.
Dein Nur die höchsten Potenzen von Z und N werden noch eine Rolle spielen: ist allerdings der Oberhammer !
Einzige Möglichkeit : Alles in die Tonne kloppen und nochmal von vorne anfangen. Dabei den Grenzwert e von  (1 + 1/n)ⁿ  im Auge behalten.

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Owei - jetzt fällt es mir wie Schuppen aus den Haaren!

Ich geh dann mal in Richtung Tonne ...

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In diesem Zusammenhang fällt mir noch folgender Witz ein :

Der Rektor der Universität bestellt den Dekan des physikalischen Instituts zu sich, um sich mit ihm über dessen hohe Budget-Forderungen zu unterhalten. "Was soll das heißen, sie benötigen so viel Geld für Laborausrüstung, technische Apparate und Experimentieraufbauten ?  Machen Sie es doch so wie die Mathematiker. Die brauchen nur Geld für Papier, Bleistifte und Papierkörbe. Oder noch besser wie die Philisophen, die brauchen nur Geld für Papier und Bleistifte."

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Hmm ok stimmt ja. Neuer Versuch.

$${ \left( \frac { { n }^{ 2 }+3n+2 }{ 1 } \right) }^{ n }{ \left( \frac { 1 }{ { n }^{ 4 }-{ n }^{ 3 } } \right) }^{ \frac { n }{ 2 } }$$

$${ \left( \frac { { n }^{ 2 }+3n+2 }{ 1 } \right) }^{ n }{ \left( \frac { 1 }{ { n }^{ 2 }-{ n }^{ \frac { 3 }{ 2 } } } \right) }^{ n }$$

$${ \left( \frac { { n }^{ 2 }+3n+2 }{ { n }^{ 2 }-\sqrt { { n }^{ 3 } } } \right) }^{ n }$$

$${ \left( \frac { \frac { { n }^{ 2 } }{ { n }^{ 2 } } +\frac { 3n }{ { n }^{ 2 } } +\frac { 2 }{ { n }^{ 2 } } }{ \frac { { n }^{ 2 } }{ { n }^{ 2 } } -\sqrt { \frac { { n }^{ 3 } }{ { n }^{ 4 } } } } \right) }^{ n }$$

$${ \left( \frac { 1+\frac { 3 }{ { n } } +\frac { 2 }{ { n }^{ 2 } } }{ 1-\sqrt { \frac { { 1 } }{ { n } } } } \right) }^{ n }$$

$$\underset { n\rightarrow \infty }{ \longrightarrow } { \left( \frac { 1+0+0 }{ 1-\sqrt { 0 } } \right) }^{ \infty }={ 1 }^{ \infty }=1$$

So richtiger ?

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$${ \left(\frac { (n+1)(n+2) }{ 1 } \right) }^{ n } \left(\frac {1 }{ n(n-1)^3 } \right)^\frac n2$$
Im Nenner muss ordentlich ausmultipliziert werden ... mea culpa
$${ \left(\frac { (n+1)(n+2) }{ 1 } \right) }^{ n } \left(\frac {1 }{ n(n^3-3n^2+3n-1) } \right)^\frac n2$$
$${ \left(\frac { n^2+3n+2 }{ 1 } \right) }^{ n } \left(\frac {1 }{ n^4-3n^3+3n^2-n } \right)^\frac n2$$
$${ \left(\frac {( n^2+3n+2)^2 }{ 1 } \right) }^{ \frac n2 } \left(\frac {1 }{ n^4-3n^3+3n^2-n } \right)^\frac n2$$
$${ \left(\frac {n^4+6 n^3+13 n^2+12 n+4 }{ 1 } \right) }^{ \frac n2 } \left(\frac {1 }{ n^4-3n^3+3n^2-n } \right)^\frac n2$$
$$\left(\frac{n^4}{n^4-3 n^3+3 n^2-n}+\frac{6 n^3}{n^4-3 n^3+3 n^2-n}+\frac{13 n^2}{n^4-3 n^3+3 n^2-n}+\frac{12 n}{n^4-3 n^3+3 n^2-n}+\frac{4}{n^4-3 n^3+3 n^2-n)}\right)^\frac n2$$
Jetzt werf' ich aber die niederen Potenzen über Bord ...
$$\left(\frac{n^4}{n^4-3 n^3+3 n^2-n}\right)^\frac n2$$
$$\left(\frac{n^3}{n^3-3 n^2+3 n-1}\right)^\frac n2$$
und kommen so ziemlich umständlich wieder bei einem alten Bekannten an:
$$\left(\frac{n^3}{(n-1)^3}\right)^\frac n2$$
$$\left(\frac{n}{n-1}\right)^{\frac 32n}$$
$$\left(\left(\frac{n}{n-1}\right)^{n} \right)^ \frac 32$$
$$e^ \frac 32$$
hab den Lim nicht mehr überall davorgeschrieben, aber dran gedacht ...

... nun hoffe ich den kritischen Blicken meiner Kontrolleure gerecht geworden zu sein!

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Ich versuchs jetzt.

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Leider nicht.

Du solltest nach der vierten Zeile deines letzten Beitrages Polynomdivision machen und erhältst
(1 + (9n^3+10n^2+13n+4)/(n^4-3n^3+3n^2-n) )^n/2  , was den gleichen Grenzwert hat wie  (1 + 9/n )^n/2  , nämlich e^9/2 .

Einfacher wäre es gewesen, den Ausgangsterm in der Form   ( (n+1) / (n-1) )^n · ( (n+2) / n )^n · ( n / (n-1) )^n/2  zu schreiben, denn das ist  ( 1 + 2/(n-1) )^n · (1 + 2/n )^n · (1 + 1/(n-1) )^n/2 . Die drei Faktoren konvergieren einzeln mit den Grenzwerten  e^2 bzw. e^2 bzw. e^1/2  also insgesamt gegen  e^4,5

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Mit der Polynomdivision hatte ich auch liebgeäugelt ... aber dann doch nicht gemacht.

Nicht erst alles zu vermengen bis zum Abwinken hätte natürlich einiges verhindern können - aber wenn der Holzweg erstmal begangen ist ... naja - hoffentlich ist beim Fragesteller was angekommen.