Aufgabe (Mathestudium, Thema vollständige Induktion):
Finden Sie den Fehler in folgender Argumentation.
Behauptung: Alle Menschen haben die gleiche Haarfarbe.
Beweis: Es genügt zu zeigen, dass für jede positive ganze Zahl \( n \) und alle Menschen in einer Gruppe von \( n \) Personen die gleiche Haarfarbe haben. Dies zeigen wir durch vollständige Induktion über \( n \).
Induktionsanfang. Für \( n=1 \) ist die Behauptung offensichtlich richtig.
Induktionsannahme. Angenommen, die Behauptung gelte für eine gegebene positive ganze Zahl \( n \).
Induktionsschritt. Für eine beliebige Menge von \( n+1 \) Menschen geben wir jedem von ihnen einen Namen \( m_{i} \) \( (i=1, \ldots, n+1) \) und erhalten so die Menge \( \left\{m_{1}, \ldots, m_{n+1}\right\} \) von \( n+1 \) Menschen. Auf die Menge \( \left\{m_{1}, \ldots, m_{n}\right\} \) von \( n \) Menschen wenden wir die Induktionsannahme an und schließen, dass alle Menschen \( m_{1}, \ldots, m_{n} \) die gleiche Haarfarbe haben. Die Induktionsannahme gilt aber auch für die Menge \( \left\{m_{2}, \ldots, m_{n+1}\right\} \) von ebenfalls \( n \) Menschen. Also haben auch die Menschen \( m_{2}, \ldots, m_{n+1} \) alle die gleiche Haarfarbe.
Damit haben alle \( n+1 \) Menschen \( \left\{m_{1}, \ldots, m_{n+1}\right\} \) die gleiche Haarfarbe und der Induktionsschritt ist gelungen.
