Was ist falsch beim Beweis von "Alle Menschen haben die gleiche Haarfarbe"?

Question

Aufgabe (Mathestudium, Thema vollständige Induktion):

Finden Sie den Fehler in folgender Argumentation.

Behauptung: Alle Menschen haben die gleiche Haarfarbe.

Beweis: Es genügt zu zeigen, dass für jede positive ganze Zahl $n$ und alle Menschen in einer Gruppe von $n$ Personen die gleiche Haarfarbe haben. Dies zeigen wir durch vollständige Induktion über $n$.

Induktionsanfang. Für $n=1$ ist die Behauptung offensichtlich richtig.

Induktionsannahme. Angenommen, die Behauptung gelte für eine gegebene positive ganze Zahl $n$.

Induktionsschritt. Für eine beliebige Menge von $n+1$ Menschen geben wir jedem von ihnen einen Namen $m_{i}$ $(i=1, \ldots, n+1)$ und erhalten so die Menge $\left\{m_{1}, \ldots, m_{n+1}\right\}$ von $n+1$ Menschen. Auf die Menge $\left\{m_{1}, \ldots, m_{n}\right\}$ von $n$ Menschen wenden wir die Induktionsannahme an und schließen, dass alle Menschen $m_{1}, \ldots, m_{n}$ die gleiche Haarfarbe haben. Die Induktionsannahme gilt aber auch für die Menge $\left\{m_{2}, \ldots, m_{n+1}\right\}$ von ebenfalls $n$ Menschen. Also haben auch die Menschen $m_{2}, \ldots, m_{n+1}$ alle die gleiche Haarfarbe.

Damit haben alle $n+1$ Menschen $\left\{m_{1}, \ldots, m_{n+1}\right\}$ die gleiche Haarfarbe und der Induktionsschritt ist gelungen.

Comments

Ähnliche Frage, wenn du weiter üben möchtest: https://www.mathelounge.de/21961/liegt-fehler-beweis-behauptung-mens…

Answer 1

Die Crux steckt in
"angenommen die Beh gelte für eine gegebene pos. Zahl ganze Zahl n
(DAS TUT SIE JA, FÜR n=1)
Der Schluss mit den Mengen  m1 bis m_n+1 klappt dann allerdings nicht so schön,
denn die eine Menge ist dann die Menge, die m1 enthält und die andere, die die m2 enthält.
Die haben aber kein gemeinsames Element.

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Wenn ich das jetzt richtig verstanden habe, kann man von M1 nicht auf M2 schließen?!omm bei der 4 leider auch nicht weiter, ann mir vielleicht jemand helfen?

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Zu 4. vgl: https://www.mathelounge.de/170201/kann-mir-jemand-bei-der-aufgabe-4-…

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Kann das vielleicht jemand genauer erklären?

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genauer als mathef das beschrieben hat, geht's nicht.

Die einelementigen Teilmengen einer 2-elementigen Menge haben kein einziges gemeinsames Element.

Daher klappt der Induktionsschritt von n=1 zu n=2 nicht.

Und eine Verankerung mit n=2 bekommt man nicht hin. Ein einziges Gegenbeispiel zeigt, dass das Quatsch ist.

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Vielen Dank, jetzt hab Ichs verstanden

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Bei der 4 muss ein Buch 0 Wörter enthalten ;)

Wenn er nur 1 Buch hat muss es 0 enthalten,

wenn er 2 Bücher hat müsen sie 0 und 1 Wörter enthalten,

wenn er 3 Bücher hat müssen sie 0 1 und 2 Wörter enthalten etc...

(IA für n=1 gezeigt,

IV: er hat n Bücher mit Nummerierung 1,...,n => das Buch mit nr 1 hat 0 Wörter,...,Buch nr n hat n-1 Wörter

IS: Er kauft ein neues Buch: Nun hat er n+1 Bücher, es darf aber maximal n Wörter enthalten, und es darf nicht 0-n wörter enthalten da diese Anzahlen schon vergeben sind, also enthält es genau n Wörter.)

Die Induktion ist jetzt nicht so die wahre, ist irgendwie komisch das bei so einem Beispiel anzuwenden^^