Zeigen Sie, dass 2 <= (1+1/(n+1))n+2 < (1+1/n)n+1 <= 4

Question

ich benötige ein wenig Hilfestellung bei dieser Aufgabe:
$$2\quad \le \quad { (1\quad +\quad \frac { 1 }{ n+1 } ) }^{ n+2 }\quad <\quad { (1\quad +\quad \frac { 1 }{ n } ) }^{ n+1 }\le \quad 4$$

Leider weiß  ich nicht wie ich hier Starten kann.

Answer 1

Anregung:

$$ 2\quad \le \quad { (1\quad +\quad \frac { 1 }{ n+1 } ) }^{ n+2 }\quad <\quad { (1\quad +\quad \frac { 1 }{ n } ) }^{ n+1 }\le \quad 4 $$
$$ { \left(1\quad +\quad \frac { 1 }{ n+1 } \right) }^{ n+2 }= { \left(1\quad +\quad \frac { 1 }{ n+1 } \right) }^{ n+1 } \cdot { \left(1\quad +\quad \frac { 1 }{ n+1 } \right) }$$
$$ { \left(1\quad +\quad \frac { 1 }{ n } \right) }^{ n+1 }= { \left(1\quad +\quad \frac { 1 }{ n } \right) }^{ n } \cdot { \left(1\quad +\quad \frac { 1 }{ n } \right) }$$

Comments

Danke für deine Anregung, wäre nun der nächste Schritt z. B. 2<=  (1+1/(n+1))n+2 und (1+1/n)n+1 <= 4 einzeln aufzulösen und danach sie einfach gegenüberstellen?

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Der linke Faktor wird bei n gegen unendlich zu e

Ansonsten sehe ich hier am ehesten Beweis nach vollst. Induktion.