Beweisen Sie, dass z eine Quadratwurzel besitzt gdw folgendes Gleichungssystem eine Lösung hat

Question

Sei z = x + iy ∈C eine beliebige komplexe Zahl mit x; y ∈
R. In dieser Aufgabe zeigen wir, dass jede quadratische Gleichung in den
komplexen Zahlen eine Lösung besitzt (anders als in den reellen Zahlen).

Beweisen Sie, dass z eine Quadratwurzel v = a + bi ∈ℂ (mit a; b ∈
R) in den komplexen Zahlen besitzt, dann und nur dann wenn das
Gleichungssystem

a² - b² = x
2ab = y

eine Lösung a; b ∈R besitzt.

Meine Gedanken:

wenn a oder b = 0, so ist y = 0. Also wird es auf eine Fallunterscheidung hinauslaufen. Mehr fällt mir im mom leider auch nicht ein..

Gruß

Answer 1

I:$$z = x + iy$$II: $$v = a + bi$$
III:$$a^2 - b^2 = x$$ IV:$$2ab = y$$
setze III und IV in I ein:
I:$$z = (a^2 - b^2) + i \cdot 2ab$$
quadriere II:
$$v^2 = a^2 + 2abi+ i^2b^2$$
Na, da fällt es einem  doch wie Schuppen aus den Haaren, oder nicht ?