Tangente und Sekante

Question

,, habe folgendes Problem ....

Gegeben ist die Funktion f sowie Punkte A und B auf dem Graphen von f . Ermitteln Sie die Gleichung der Sekante durch A und B. Bestimmen Sie den Berührpunkt der Tangente an dem Graphen f, die zu der Sekante parallel ist.  

f(x) = 2x^3+4x^2  ,      A(-2 , 0 )    B( -1 , 2 ) 

Ich habe die steigung der Sekante berechnet ,   dann den punkt A eingesetzt und folgende Gleichung erhalten .

s(x) = 2x + 4 

Dann war mir klar da sie Parralel zur Tangente ist , muss sie ja die selbe Steigung haben .

also :  t(x)=2x+b 

nun habe die die gleichungen gleichgesetzt , also f(x) = t(x)  

da kam dann raus :     2x^3+4x^2-2x-b=0

Nun meine Frage,  ich kenne das bis jetzt nur mit hoch zwei Gleichungen,   die Diskriminante 0 setzen.

Aber jetzt ist es eine hoch 3 Gleichung,  also fellt die p und q formel ja weg.

was muss ich also tun um das b rauszubekommen :-)

Answer 1

Gegeben ist die Funktion f sowie Punkte A und B auf dem Graphen von f . Ermitteln Sie die Gleichung der Sekante durch A und B. Bestimmen Sie den Berührpunkt der Tangente an dem Graphen f, die zu der Sekante parallel ist.

f(x) = 2·x^3 + 4·x^2 ; A(-2 | 0) ; B(-1 | 2)

mAB = (2 - 0)/(-1 - (-2)) = 2/1 = 2

Funktionsgleichung der Sekante

g(x) = 2·(x - (-2)) + 0 = 2·x + 4

Die Berührpunkte

f'(x) = 6·x^2 + 8·x = 2

x = - 2/3 ± √7/3

x = -1.5486 oder x = 0.2153

f(-2/3 - √7/3) = 10·√7/27 + 32/27 --> (-1.5486 | 2.1651)

f(-2/3 + √7/3) = 32/27 - 10·√7/27 --> (0.2153 | 0.2053)

Die Tangentengleichungen

t(x) = 2·(x - (-2/3 - √7/3)) + 32/27 + 10/27·√7 = 2·x + 68/27 + 28/27·√7

t(x) = 2·(x - (-2/3 + √7/3)) + 32/27 - 10/27·√7 = 2·x + 68/27 - 28/27·√7

Comments

Erstmal Danke für deine Hilfe,,  du hast es echt drauf,  also du hast mir ja schon oft geholfen bzw. mir gezeigt das du es aufjedenfall sehr gut verstehst.   Also ich meine das jetzt nicht böse oder so ,  soll jetzt net heißen das du  mir nicht mehr helfen sollst. Also nicht falsch verstehen.

Kann mir das vielleicht jemand besser erkläre ?  ich kann mit der Lösung von Mathecouch nix anfangen, hab noch kein Mathe studiert :- ) 
Oder kannst du es vielleicht besser erklären Mathecouch .  

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Vielleicht sagst du mir was du nicht verstehst. Und sag jetzt nicht alles? Gehe also meine Sachen zeile für Zeile durch und überflieg das nicht pauschal.

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also du hast die Nullstellen berechnet . Die sind -2/3  und 0,2153  .Das habe ich soweit verstanden .

Dann hast du sie in f eingesetzt. Das habe ich auch noch verstanden. 

Dann hast du sie in f eingesetzt.  Was ich noch nicht verstehe ist warum man die erste Ableitung machen musste, und warum das dann mit minus und minus ,  und dann mit minus und plus in f eingesetzt wird .

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Du weißt das die Sekante die Steigung 2 hat. Da die Tangente dann auch die Steigung 2 haben muss weil sie parallel ist suchen wir die Punkte an denen der Funktionsgraph die Steigung 2 hat. 

Dazu setzen wir die erste Ableitung gleich 2 und lösen es nach x auf. 

Dort kommt gerungdet x = -1.5486 oder x = 0.2153 heraus. Du kannst auch mit diesen Werten weiterrechnen. Ich habe den exakten Wert genommen und zwar x = - 2/3 ± √7/3.

Du solltest aber wenn du mit den gerundeten Werten weiterrechnest ähnliche Werte bekommen.

Da es nicht nur um die Berührstellen geht also nicht nur um die x-Koordinaten setzen wir diese noch in f(x) ein und ermitteln so die y-Koordinaten. Bitte rechne es selber einmal nach. Nur vom Ansehen der Lösung ist es schwer es zu verstehen. Du solltest also um Lösungen zu verstehen nicht nur lesen sondern selber auch mitrechnen.

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Klar sowieso,    hab es jetzt auch verstanden,,, tausend dank,,,   und wir schreiben uns bei mein nächsten problem :-)