Fläche zwischen Sekante und Tangente bestimmen

Question

Aufgabe:

Begründen Sie die Verallgemeinerung der Formel von ARCHIMEDES.

Text erkannt:

ein

Problem/Ansatz:

Ich habe die Aufgabe fast gelöst. Mir fällt nur noch den letzten Teil. Das kriege ich nicht hin.

Ich schicke Ihnen meine Lösung.

Danke für Ihre Hilfe

Text erkannt:

b) \( f(x)=\frac{1}{2} x^{2}=015 x^{2} \)
\( f^{\prime}(x) \cdot x \)
\( P_{1}(1, f(1)) \)
\( P_{4}(1,0,5) \)
\( P_{2}(3 \mid F(3)) \quad P_{2}(3,4,5) \)
B Steigung der Selnante wind damit der Tangente darch
- Sekantengleicinung bestimmen mit \( P_{A} \)
\( y_{5}=m x+b \)
\( a_{5}=2 \cdot 1+b \Rightarrow-1,5 \cdot b \)
\( y^{s}=2 \cdot x-1,5 \quad 11 \leqslant x \leqslant 3 \)
1. Fláche ruixchen \( f(x) \) und \( y \) s bestirnmen
\( \int \limits_{1}^{3}\left(y_{5}-f(x)\right) d x=\frac{2}{3} F E \)
D bestimmer \( f^{\prime}(x)=2 \quad x=2 \)
\( f(2)=2 \quad D(212) \)
[angentengichang: \( y_{b}=2 x+b \) \( x=2 \cdot 2+b \)
\( b=-2 \)
\( y+= \)
Verallgemeinerung der Formal:
\( A=\frac{2}{3} g \cdot h \quad P_{1}\left(P \quad \mid a \cdot p^{2}\right) \)
\( f(x)=a \cdot x^{2} \)
\( P_{2}\left(9 \quad\left(a-9^{2}\right)\right. \)
D Steigung der Sekante und damid dar Tangante durch
D bestimmen:
\( m=\frac{a \cdot q^{2}-a \cdot p^{2}}{q-p}=\frac{a \cdot\left(q^{2}-p^{2}\right)}{9-p}=\frac{a \cdot(a-p+(q+p)}{q p} \)
3. binamische Formel \( m=a \cdot(9+p) \)
\( (a-b) \cdot(a+b) \)
\( =a^{2}+a^{6}-6 a-b^{2} \)

Text erkannt:

\( d b_{0}-x \cdot(b+d) \cdot b=s x \)
\( 9+x \cdot u=-3 \delta \)

Text erkannt:

- D bestimmen \( f(x)=2 a x \)
\( 2 a x=a \cdot(a+p) \)
\( 2 a x=a q+ \) ap \( \quad 1: 2 a \)
\( x=\frac{a q+a p}{2 a} \)
\( f(x)=a \cdot x^{2} \)
\( f\left(\frac{9+p}{2}\right)=a \cdot\left(\frac{q+p}{2}\right)^{2}=\frac{a \cdot(a+p)^{2}}{4} \)
. Tangentenglaiching bestimmen:
\( y=m \cdot x+b \)
\( \frac{a \cdot(9+p)^{2}}{4}=a \cdot(9+p) \cdot \frac{9+p}{2}+b \)
\( \left(\frac{a \cdot(9+p)^{2}}{4}=(a q+a p) \cdot \frac{9+p}{2}+b\right) \)
\( \frac{a \cdot(a+p)^{2}}{4}=a \cdot\left((a+p) \cdot \frac{(g+p)}{2}+b\right. \)
\( \frac{a \cdot(a+p)^{2}}{4}=\frac{a \cdot(a+p)^{2}}{2}+b \quad 1-\frac{a \cdot(a+p)^{2}}{2} \)
\( \frac{a \cdot(p+q)^{2}}{2}-\frac{a \cdot(a+p)^{2}}{2}=b \)
\( \frac{a \cdot(p+q)^{2}-2 a(a+p)^{2}}{4}=b \)
\( =\frac{-a \cdot(9+p)^{2}}{4}=b \)
\( y_{t}=a \cdot(q+p) \cdot x-\frac{a \cdot(q+p)^{2}}{4} \)

Text erkannt:

B Đe Flache zuischen Sellante und Tangente:
\( \int \limits_{P}^{9}\left(y_{s}-y_{t}\right) d x \)
\( g(x)=y_{s}=a \cdot(q+p) \cdot x-a g \)
\( G(x)=\frac{1}{2}(a \cdot(q+p)) \cdot x^{2}-\infty p \cdot x \)
\( h(x)=y_{t}=a \cdot(q+p) \cdot x-\frac{a \cdot(p+q)^{2}}{4} \)
\( A(x)=\frac{1}{2}(a \cdot(q+p)) \cdot x^{2}-\frac{a \cdot(p+a)^{2}}{4} \cdot x \)

Answer 1

Woher weißt du denn, dass es um die Parabel mit der Gleichung f(x) = \( \frac{a}{b} \)x² geht? Sollte der Ansatz nicht f(x)=a·x² sein? Und wie steht es mit P₁ oder P₂? Sollten die nicht auch allgemein gewählt werden? Ich melde mich, falls ich die Aufgabe allgemein gelöst habe.

Comments

Ich habe auch als allgemeine Formel:a.x^2 und habe auch allgemeine Punkte. Wenn Sie meine Lösungen sehen...

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Deine Verallgemeinerung beginnt mit A=\( \frac{2}{3} \) ·g·h. Welche Interpretation von A, g und h gehört dazu?

Answer 2

f(x)=ax²

f'(x)=2ax

Erst einmal mit Zahlen:

f(x)=x^2

f'(x)=2x

P1(2|4), P2(4|16)

m=(16-4)/(4-2)=6

f'(xD)=2xD=6 → xD=3

t(x)=6*(x-3)+9=6x-9

t(x2)=6*4-9=15 → Q2(4|15)

A_Par=(x2-x1)*(y2-t(x2))=(4-2)*(16-15)=2

2/3 *A_Par=2/3* 2 = 4/3

A_Seg=A_Trapez-Int

=0,5*(y2+y1)*(x2-x1)-(x2^3/3-x1^3/3)

=0.5*(16+4)*(4-2)-(4^3/3-2^3/3)=4/3

Das Beispiel stimmt also.

Jetzt allgemein:

P1(x1|y1), P2(x2|y2)

m=(y2-y1)/(x2-x1)

m=a(x2^2-x1^2)/(x2-x1)=a(x2+x1)

f'(xD)=m=2a*xD → xD=m/(2a)=(x2+x1)/2

xD befindet sich genau in der Mitte zwischen x1 und x2.

t(x)=m*(x-xD)+yD

t(x)=a(x2+x1)(x-xD)+a*xD^2

t(x)=a*2*xD*(x-xD)+a*xD^2

t(x)=a*2*xD*x-a*xD^2

t(x)=a*xD*(2*x-xD)

t(x2)=a*xD*(2*x2-xD)

Q2(x2|t(x2))

Das Parallelogramm kann durch Scherung in Richtung der y-Achse in ein flächengleiches Rechteck verwandelt werden.

A_Par=A_Re=(x2-x1)*(y2-t(x2))

=(x2-x1)*(a*x2^2-a(xD*(2*x2-xD)))

=a*(x2-x1)*(x2^2-2*xD*x2+xD^2)

=a*(x2-x1)*(x2-xD)^2

=a*(x2-x1)*(0,5*(x2-x1))^2

=0,25*a*(x2-x1)^3

2/3 * A_Par = 1/6 *a* (x2-x1)^3

A_Seg=A_Trapez- Int

=0,5*(a*x2^2+a*x1^2)*(x2-x1)-(a*x2^3/3-a*x1^3/3)

=a*(x2-x1)*(0,5*x2^2+0,5*x1^2-1/3*(x2^2+x2*x1+x1^2)))

=a*(x2-x1)*(1/6*x2^2-1/3*x1*x2+1/6*x1^2)

=a*(x2-x1)*1/6*(x2^2-2*x1*x2+x1^2)

A_Seg=1/6*a*(x2-x1)^3

:-)

PS:

Nach ca. 2 Stunden und einigen Fehlern endlich geschafft!

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