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Berechne die folgenden Integrale.

(a) $$ \int { cos(x)sin(2x)dx } $$

Hinweise: Additiostheorem verwenden

(b) $$ \int _{ 2 }^{ 1 }{ \frac { 1 }{ x+1 } dx } $$

Avatar von

2 Antworten

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b.)
[ ln (x + 1 ) ] ´ = 1 / ( x + 1 )
also
[ ln (x + 1 ) ]12

wieso stehen bei dir die Integrationsgrenzen umgedreht ?
Avatar von 122 k 🚀
Erstmals danke, ich glaube, das Ziel der Aufgabe sollte es sein, das Integral umzuformen zu
$$ -\int _{ 1 }^{ 2 }{ \frac { 1 }{ x+1 } dx } $$ und erst dann zu rechnen ?

Kann ich dir auch nicht sagen. Das Ergebnis ist dasselbe.

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Hallo


zu a)

Es gilt allgemein: sin(2x) = 2 sin(x) cos(x)

im Folgeintegral substituierst Du

z= cos(x)

damit solltest Du das Intergal lösen


:-)

Avatar von 121 k 🚀

Wennich diese Schritte ausführe, dann komme ich auf

$$ \int { 2{ z }^{ 2 } } sin(x)dx\quad mit\quad z=cos(x) $$

und nun hatten wir in der Vorlesung, dass man das dx zu einem dz umformen sollte. Aber ich habe jetzt ja zwei Variablen (x und z), wie mache ich das jetzt, dass ich anschliessend integriereren kann?

dz/dx =-sin(x)

dx= dz/(-sin(x)


sin(x) kürzt sich weg.

eingesetzt:

= -2 integral z^2 dz

das kannst Du lösen

Resubstitution nicht vergessen


So komme ich auf

$$ -\frac { 2 }{ 3 } { cos }^{ 3 }(x)+C $$

stimmt das so?

Ja  das stimmt.

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