Differenzierbarkeit der Funktion zeigen: f(x):= sin(x)/x für x≠0 und f(0):= 1.

Question

Zeige, dass die Funktion

$f(x)=\left\{\begin{array}{lll}\frac{\sin (x)}{x} & \text { für } & x \neq 0 \\ 1 & \text { für } & x=0\end{array}\right.$

auf ganz ℝ stetig differenzierbar ist und berechne die Ableitung.

Answer 1

Das kann man mit der Regel von l'Hospital zeigen. Zuerst die Stetigkeit und auch die Differenzierbarkeit.

Comments

und gegen was muss ich den Limes jeweils laufen lassen?

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Gegen 0 natürlich

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Ich habe ausgerechnet, dass beide Teilfunktionen von f(x) den Grenzwert 1 haben, d.h. ich habe gezeigt, dass die Funktion differenzierbar ist.

Wenn ich sie nun ableite, bekomme ich

$f^{\prime}(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x \cos (x)-\sin (x)}{x^{2}} & \text { für } x \neq 0 \\ 0 & \text { für } x=0\end{array}\right.$

Für die untere Teilfunktion ist der Grenzwert ja 0.

Wenn ich den Limes gegen 0 von der oberen Teilfunktion berechne, kriege ich jedoch, wenn ich nenner und zähler einzeln nach der Regel von l'Hospital ableite:

$\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{x \cos (x)-\sin (x)}{x^{2}}=\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{1 \cdot-\sin (x)-\cos (x)}{2 x}=\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{-\cos (x)+\sin (x)}{2}=-\frac{1}{2}$

Und jetzt stimmen die Grenzwerte der Teilfunktionen (0 und -0.5) nicht überrein, wo habe ich einen Fehler gemacht?

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Ableitung Zähler

[ x * cos(x) - sin(x) ]   ( lim x -> 0 = 0 )

1 * cos(x) + x * ( -sin(x) ) - cos(x)
- x * sin ( x )  ( lim x -> 0 = 0 )

-  [ 1 * sin ( x ) + x * cos(x)  ]
-sin ( x ) - x * cos ( x )  ( lim x -> 0 = 0 )

lim x -> 0 [  ( -sin ( x ) - x * cos ( x )  ) / 2 ] = 0

Im 2.Schritt hast du in deiner Rechnung den Zähler falsch abgelitten ( rot markiert ).

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Ah ja klar, habe die Produktregel vergessen anzuwenden...

vielen Dank!