Zeigen Sie, dass R eine Äquivalenzrelation ist

Question

nabend, ich habe eine 'tolle' aufgabe zur äquivalenzrelation....

Gegeben sei die Relation $R \subset \mathbb{R} \times \mathbb{R}$ mit
$(x, y) \in R \Leftrightarrow x-y \in \mathbb{Z}$
Zeigen Sie, dass $R$ eine Äquivalenzrelation ist und bestimmen Sie die Äquivalenaklassen von $\frac{1}{4}$ und $\pi$.

wie genau geht das?? wäre toll wenn ich eine lösung habe, nach der ich in zukunft immer arbeiten könnte...das wäre toll!

Answer 1

also, es ist $x - x = 0 \in \mathbb{Z}$ für alle $x \in \mathbb{R}$. Das heißt, die Relation ist reflexiv.

Wenn $x- y \in \mathbb{Z}$, dann ist auch $y-x = -(x-y) \in \mathbb{Z}$. Das heißt, die Relation ist symmetrisch.

Ist $x - y \in \mathbb{Z}$ und $y - z \in \mathbb{Z}$ , so ist auch $x - y + y - z = x - z \in \mathbb{Z}$, da $\mathbb{Z}$ abgeschlossen bezüglich der Addition ist.

Damit ist die Relation eine Äquivalenzrelation, siehe  https://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation#Definition_ein… .

Die Äquivalenzklasse von $\frac{1}{4}$ ist $[\frac{1}{4}] = \{ \frac{1}{4} + z \mid z \in \mathbb{Z} \}$.

Die Äquivalenzklasse von $\pi$ ist $[\pi] = \{ \pi + z \mid z \in \mathbb{Z} \}$.

Allgemein ist die Äquivalenzklasse von $a\in \mathbb{R}$ gegeben durch $[a] = \{ a + z \mid z \in \mathbb{Z} \}$.

Mister