Zeigen Sie, dass R eine Äquivalenzrelation ist

Question

nabend, ich habe eine 'tolle' aufgabe zur äquivalenzrelation....

Gegeben sei die Relation \( R \subset \mathbb{R} \times \mathbb{R} \) mit
\( (x, y) \in R \Leftrightarrow x-y \in \mathbb{Z} \)
Zeigen Sie, dass \( R \) eine Äquivalenzrelation ist und bestimmen Sie die Äquivalenaklassen von \( \frac{1}{4} \) und \( \pi \).

wie genau geht das?? wäre toll wenn ich eine lösung habe, nach der ich in zukunft immer arbeiten könnte...das wäre toll!

Answer 1

also, es ist \( x - x = 0 \in \mathbb{Z} \) für alle \( x \in \mathbb{R} \). Das heißt, die Relation ist reflexiv.

Wenn \( x- y \in \mathbb{Z} \), dann ist auch \( y-x = -(x-y) \in \mathbb{Z} \). Das heißt, die Relation ist symmetrisch.

Ist \( x - y \in \mathbb{Z} \) und \( y - z \in \mathbb{Z} \) , so ist auch \( x - y + y - z = x - z \in \mathbb{Z} \), da \( \mathbb{Z} \) abgeschlossen bezüglich der Addition ist.

Damit ist die Relation eine Äquivalenzrelation, siehe  https://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation#Definition_einer_.C3.84quivalenzrelation .

Die Äquivalenzklasse von \( \frac{1}{4} \) ist \( [\frac{1}{4}] = \{ \frac{1}{4} + z \mid z \in \mathbb{Z} \} \).

Die Äquivalenzklasse von \( \pi \) ist \( [\pi] = \{ \pi + z \mid z \in \mathbb{Z} \} \).

Allgemein ist die Äquivalenzklasse von \( a\in \mathbb{R} \) gegeben durch \( [a] = \{ a + z \mid z \in \mathbb{Z} \} \).

Mister