Welche Reihen konvergieren, welche konvergieren absolut? Σ (1/√n)

Question

Frage steht oben, habe bei dieser Nummer große Probleme. : (

Kann mir bitte einer von euch helfen und vilt. eine Teilaufgabe beispielhaft vorrechnen, dann müsste ich die anderen auch schaffen.

Muss ich bei (a) und (e) das Wurzelkriterium anwenden=???

Bin für jede Hilfe dankbar : (a) \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \)
(b) \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}-3} \)
(c) \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^{2}+1} \)
(d) \( \sum \limits_{n=1}^{\infty}\left(3+(-1)^{n}\right)^{-n} \)
(e) \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\sqrt{2 n+3}} \)
(f) \( \sum \limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{n}{n^{2}+n+1} \) )

Answer 1

Bei a) ist Σ (1/n) eine divergente Minorante. Daher divergiert a)

e) ist eine Alternierende Reihe. Daher konvergiert e)

Allerdings konvergiert e) nicht absolut. Da kannst du aus Σ (1/n) wieder eine divergente Minorante basteln.

Anmerkung: Zumindest a) und d) sind schon als separate Fragen vorhanden. Benutze bitte die Suche.

d) https://www.mathelounge.de/172173/ist-die-folgende-reihe-konvergent-mit-begrundung?show=172754#c172754

Comments

Jemand eine Idee zur b). Habe es mit dem Quotientenkriterium versucht, komme aber auf 1, womit man ja keine Aussage treffen kann.

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Vielleicht ist 2/n^2 ist eine konvergente Majorante?

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Das heißt, ich muss hier mit dem Majorantenkriterium einen Vergleich machen? Zum Beispiel:
1/(n^2-3)<1/n^2<2/n^2
und das dann ausrechnen?

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Das geht sicher am schnellsten. Aber Achtung

1/(n²-3) > 1/n²  sobald n gross genug ist. z.B. ab n=3.

Daher direkt

1/(n²-3)<2/n²        , sollte ab n= 3 genügen.

Dann 2/n^2 = 1/2 * 1/n^2 schreiben, 1/2 vor das Summenzeichen nehmen und das die Summe 1/x^2 existiert bist du fertig.

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Kann mir einer bitte einmal beispielhaft zeigen, wie man die  c oder f macht.

Ich habe große Probleme bei dieser Aufgabe aber da gibt es die meisten Punkte : (

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f) Summanden bilden eine alternierende Folge. vgl. oben oder Link. → konvergent.

c) und [f) absolut]: Konstriuiere aus der harmonischen Reihe eine divergente Minorante.

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Wie kommst du bei c) darauf, dass die Reihe absolut konvergiert? Habe bei c) das Quotientenkriterium verwendet und komme damit erst einmal auf 1, womit ich noch keine Aussage treffen kann. Dann habe ich es mit dem Majorantenkriterium versucht, bin mir aber ziemlich unsicher. Wäre das denn richtig, die Aufgabe damit anzugehen?

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Sie divergiert! Harmonische Reihe als Minorante zeigt das bei c)

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Was ist eigentlich der Unterschied zwischen Majorantenkriterium und Minorantenkriterium. Das sind doch beides Vergleichskriterien, oder?

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Warum hier 1/2*1/n^2.

Ich hätte hier gesagt 2*1/n^2, dann die 2 vor das Summenzeichen ziehen und 1/n^2 ist ja bekannt als konvergent. Sorry, wenn ich so viele Fragen, stelle, bin aber noch sehr unsicher bei dem Thema.