Konvergieren diese Reihen (absolut)?

Question

Hallo,

ich habe diese drei Reihen gegeben und soll sie auf Konvergenz und absolute Konvergenz untersuchen.

(i) $$  \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(2+\frac{1}{k})^k} $$ 

Hier habe ich mir gedacht, dass ich den Bruch umschreiben kann als: $$ {(2+\frac{1}{k})^{-k}}  $$

Der Grenzwert lautet: $$ \lim\limits_{k\to\infty}{(2+\frac{1}{k})^{-k}} $$ Somit konvergiert die Reihe gegen 0. Stimmt das?

(ii) $$ \sum \limits_{k=1}^{\infty}\frac{2k-1}{k^2+2k+2} $$

(iii) $$ ( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{k+1}{2^n} $$

Bei den letzten beiden Reihen habe ich viele Ansätze ausprobiert, doch ich kam auf kein sinnvolles Ergebnis.

Ich würde mich auf Tipps und Hilfe sehr freuen! :) !

Answer 1

1. Reihe: Verwende Wurzelkriterium, das gibt k-te Wurzel aus ( 2+1/k)^-k =   ( 2+ 1/k)^-1

geht gegen 1/2 < 1. Also ist die Reihe konvergent (auch absolut, sind ja keine

negativen Werte dabei.)

2. ( 2k - 1 ) / ( k^2 + 2k + 2) kürzen mit k

= ( 2 - 1/k )   / ( k + 2 + 2/k)

≥   1 /  ( k + 2 + 2/k)

≥  1 / ( k+4)    und das ist wie die harmonische Reihe divergent.

3. Quotientenkriterium gibt

((k+2) / 2^(n+1) )    /   ((k+1) / 2^(n) )

= (k+2)/(k+1)  * 1/2

Und das geht gegen 1/2 < 1 also Reihe konvergent.