Zeigen dass n! > 2^n

Question

ich soll zeigen dass der Limes von && \frac { { 2 }^{ n } }{ n! } =0 $$ ist.

Ich hatte vor zu argumentieren dass $$ \quad n!>{ 2 }^{ n } $$ da dass ja eine Nullfolge ist und der Nenner

gegen schneller wachsen muss.

Vollständige Induktion:

IA: n->5

5! > 2^5 => Bedingung erfüllt.

IS: n->n+1

$$ (n+1)!\quad >\quad { 2 }^{ n+1 } $$

Erste Umformung:

$$ n!(n+1)\quad >\quad { 2 }^{ n }\quad *\quad { 2 }^{ 1 } $$

Weiter weiss ich leider nicht, bitte helft mir!

Comments

Schau mal hier

https://www.mathelounge.de/172962/frage-vollstandigen-induktion-ungleichungen-zeigen-gultig#c173012

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hilft mir leider nicht weiter :/

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Das, was du vorhast bringt dich eh nicht zum Ziel, denn nur weil der Nenner stets größer ist, ist das noch lange keine Nullfolge. Bsp.: \(\frac{n}{n+1}\)

Answer 1

schade, dass dir der Link nicht weiterhilft, du bist ja schon fast durch mit der Induktion. Kannst ja hier als Kommentar schreiben wo es genau hapert. Allerdings bist du nach dieser Induktion noch nicht fertig mit deinem Beweis.

Versuchs doch mit ner oberen Abschätzung zum Beispiel zeige

$$ \frac{2^n}{n!} \leq \frac{8}{n} \quad \forall n \in \mathbb{N} $$

Das kannst du zum Beispiel nach deiner fertigen Induktion folgern, oder aber selber per Induktion beweisen. Mit dem Sandwich-Kriterium kannst du dann zeigen, dass es sich um eine Nullfolge handelt.

Gruß