Beweisen Sie, dass für n>1 Folgendes gilt: 1/(n+1) + 1/(n+2) ..... + 1/(n+n) > 13/24 (Induktion)

Question

Die Funktion lautet : (das " / " steht für den Bruchstrich)

1 / (n+1)  + 1 / (n+2) ..... + 1 / (n+n)   > 13 / 24                 für n>1

Ich habe den Induktionsanfang schon nachgeprüft und hänge jetzt bei dem Beweis der Induktionsbehauptung fest, welche luatet (korrigiert mich, wenn ich falsch liege) :

1 / [(n+1) + 1]  +   1 / [(n+1) + 2 ] + ....... + 1 / [ ( n+1) + (n+1) ] > 13 / 24

Nur wie beweise ich das nun? Ich habe wirklich keinen Schimmer und wäre über jede Antwort dankbar. Möglichst auch mit ein paar Kommentaren dabei, denn ich möchte das ja auch wirklich verstehen.

LIebe Grüße !

Comments

1 / [(n+1) + 1]  +   1 / [(n+1) + 2 ] + ....... + 1 / [ ( n+1) + (n+1) ]

= 1/(n+2) + 1/(n+3) + ..... +1/(2n) + 1/(2n+1) +1/(2n+2)

= 1/(n+1) + 1/(n+2) + 1/(n+3) + ..... +1/(2n) + 1/(2n+1) +1/(2n+2) - 1/(n+1)

> 13 / 24 + 1/(2n+1) +1/(2n+2) - 1/(n+1)

Nun das nach 13/24 noch genauer ansehen.

Answer 1

1 / [(n+1) + 1]  +   1 / [(n+1) + 2 ] + ....... + 1 / [ ( n+1) + (n+1) ]

= 1/(n+2) + 1/(n+3) + ..... +1/(2n) + 1/(2n+1) +1/(2n+2)

= 1/(n+1) + 1/(n+2) + 1/(n+3) + ..... +1/(2n) + 1/(2n+1) +1/(2n+2) - 1/(n+1)

> 13 / 24 + 1/(2n+1) +1/(2n+2) - 1/(n+1) 

Nun das nach 13/24 noch genauer ansehen.

 1/(2n+1) +1/(2n+2) - 1/(n+1) 

=  1/(2n+1) +1/(2n+2) - 2/(2n+2) = 1/(2n+1) - 1/(2n +2) >0.

Daher:

1 / [(n+1) + 1]  +   1 / [(n+1) + 2 ] + ....... + 1 / [ ( n+1) + (n+1) ]

> 13 / 24 + 1/(2n+1) +1/(2n+2) - 1/(n+1) 

> 13/24 qed.