Bruchungleichung: Bsp. (24 + x)/x + 1 < 4

Question

Hi Leute.

Wo ist mein Fehler ?

Ich sitze gerade an ein paar Bruchaufgaben und weiß nicht ob ich das richtig rechne...

Also als Beispiel habe ich das:

Bei c) Da habe ich mit x multipliziert. dadurch war der Bruch weg und am Ende bekam ich halt  25 < 3x raus. Ist das richtig? Und bei d) würde ich es genauso machen. Mit x multiplizieren und dann habe ich  1/-9  < 4. Ist das soweit richtig?

Bei e und f komme ich glaub ganz gut klar und f denke ich auch. Aber bei h weiß ich ehrlich nicht weiter und bei i und j. Das sind doch Betragsstriche aber keine Ahnung wie man das ausrechnet vor allem j nicht. Jemand eine idee?

Comments

Bei c) Da habe ich mit x multipliziert. dadurch war der Bruch weg und am Ende bekam ich halt  25 < 3x raus. Ist das richtig?

Nein,

$$\begin{aligned}\frac{(24+x)x}{x}+1 \cdot x&<4x\\24+2x&<4x\\24&<2x\end{aligned}$$

---

Aber wo kommt denn das (24 + x) x <--- dieses x aufeinmal her?

---

Achsooooooo. Weil ich mit x multipliziere muss ich auch die klammer mit x multiplizieren und die 1 auch oder? Aber müsste es dann nicht 24 x + 2x < 4x sein? Weil die 24 muss doch auch mit x multipliziert werden

---

Bei c) Da habe ich mit x multipliziert.  Da kommt das her.

Nein das x kürzt sich weg bei dem Bruch. Vorausgesetzt x ungleich 0

---

Tut mir leid bin bisschen schwer vom begriff aber danke :D Ah gut du hast es weg gekürzt. Ja aber wie kann ma ndas denn kürzen. Durch die Multiplikation müsste das untere x doch verschwinden oder steh ich gerade zu sehr aufn Schlauch?

---

$$\frac{(24+x)\not x}{\not x}+1\cdot x<4x$$

Answer 1

Hallo ,

zu c)

Da habe ich mit x multipliziert. dadurch war der Bruch weg und am Ende bekam ich halt  25 < 3x raus

->das stimmt nicht

24 +x +x<4x

24 +2x< 4x

24< 2x

12<x  ;

x> 12 ; x≠ 0

zu d)

dann habe ich  1/-9  < 4. Ist das soweit richtig?->nein

1/(x- 9) ≤ 4 |*(x-9)

1≤ 4x -36

37 ≤ 4x

37/4 ≤ x

Lösung

x ≥37/4 und  x< 9

Comments

Wow Danke aber ich versteh ehrlich gesagt nicht, warum die 24 nicht mit x multipliziert wird? Es heißt doch dann (24 +x)x. Warum bleibt es dann 24 und wird daraus nicht 24x? :-/

---

Es gibt noch einen 2. Weg:

=(24/x +x/x)*x

=(24/x+1)x

= 24 +x

---

ah gut dank dir :) 

Answer 2

Die 1.Aufgabe wurde noch nicht richtig beantwortet.

Falls eine Ungleichung mit einem Faktor x
multipliziert wird muß unterschieden werden

- falls x postiv ist bleibt das Ungleichheitszeichen bestehen
4 < 5 | * 3
12 < 15

- falls x negativ ist muß das Ungleichheitszeichen umgedreht werden
4 < 5 | * -3
-12 < -15  falsch
sondern
-12 > -15

Hier noch Aufgabe f.)

( x - 1 ) * ( x - 3 ) > 0
Ein Produkt ist dann > 0 falls
+ * +
oder
- * -

1.Fall
( x -1 ) > 0  : x > 1
( x - 3 ) > 0 : x > 3
( x > 1 ) und ( x > 3 ) : x > 3

2.Fall
( x -1 ) < 0  : x < 1
( x - 3 ) < 0 : x < 3
( x < 1 ) und ( x < 3 ) : x < 1

Lösungsmenge
x > 3 und x < 1

Bin bei Bedarf gern noch weiter behilflich.

Comments

In der vorletzten Zeile muss es "oder" statt "und" heißen, schließlich werden Aussagen über die Lösungen der Ungleichung miteinander verknüpft. Vergleiche das einmal mit der anderen Ungleichung \(( x - 1 ) \cdot ( x - 3 ) < 0\), dann wird vielleicht deutlich, warum das kein unwichtiger Aspekt ist.

---

Hallo jf1188,

- wenn ich als Lösung einer Gleichung herausbekomme
x > 3 ist dies die Menge aller Zahlen ( ich nehme jetzt
einmal die Natürlichen ) 4,5,6,7,8,...

- wenn ich als Lösung einer Gleichung herausbekomme
x < 1 ist dies die Menge aller Zahlen ( ich nehme jetzt
einmal die Natürlichen ) 0,-1.-2,-3,....

Wenn ich beides als Lösung herausbekomme ist die
Lösungsmenge doch die Vereinigungsmenge
beider Mengen
( x > 3 ) und ( x < 1 ).

Soweit meine Überlegungen.

Du kannst mich auch gern auf einen Artikel verweisen.

mfg Georg

---

Hi, es werden Aussageformen äquivalent umgeformt. Dies geschieht unter anderem dadurch, dass sie in mehrere, logisch miteinander verknüpfte, Aussageformen zerlegt werden. Betrachte dazu das Beispiel$$ x^2 > 1 \quad\Leftrightarrow\quad \left( x < -1 \quad\underline{\text{oder}}\quad 1 < x \right) $$und im Gegensatz dazu das andere Beispiel$$ x^2 < 1 \quad\Leftrightarrow\quad \left( -1 < x \quad\underline{\text{und}}\quad x < 1 \right).$$

---

Auf einer Internetseite fand ich

Die gesamte Lösungsmenge der Ungleichung (28) besteht aus allen in den beiden Fällen gefundenen Lösungen, d.h. sie ist die Vereinigungsmenge der beiden Teil-Lösungsmengen L₁ und L₂:

L  =  L1 ∪ L2  =  (– ∞, 1/2) ∪ (1, ∞) .

Da ich von Lösungsmengen spreche scheint meine Antwort richtig zu sein.

---

Du sprichst von "Lösungsmenge", führst aber Ungleichugen an. Im Ergebnis gibt es solche Probleme. Als Korrektor würde ich das anstreichen!

---

- wenn ich als Lösung einer Gleichung herausbekomme
x < 1 ist dies die Menge aller Zahlen ( ich nehme jetzt
einmal die Natürlichen ) 0,-1.-2,-3,....
Bemerkenswert.

---

Als Korrektor würde ich das anstreichen!

Ich gebe meine Antworten nicht unbedingt immer in voller
akademischer  Strenge sondern für den Fragesteller und
dessen vermuteten Kenntniststand.

So. Und jetzt ist meinerseits Schluß mit der Diskussion.

---

Du leitest ein mit

Die 1. Aufgabe wurde noch nicht richtig beantwortet

Dann darf ich doch davon ausgehen, dass deine Antworten wenigstens den Anspruch erheben, richtig zu sein. Deine Formulierung

Lösungsmenge
x > 3 und x < 1 

ist nicht richtig und das liegt nicht an "mangelnder akademischer Strenge". Je nach Kenntnisstand wird der Fragesteller eine solche Antwort aber für richtig halten müssen. Was hat er davon?

---

Bei Rückfragen kann sich der Fragesteller gern an mich wenden.

Eine korrekte Antwort einzustellen steht in deinem Belieben.

Answer 3

Hi, zu c): Es ist oft von Vorteil, wenn die hier notwendige Fallunterscheidung möglichst spät durchgeführt wird. Das bedeutet in diesem Beispiel, dass zunächst nicht mit \(x\) multipliziert werden darf, sondern stattdessen anderweitig vereinfacht werden muss. Das ist hier gut möglich mit:$$ \frac { 24 + x }{ x } + 1 < 4 \Leftrightarrow\\\,\\ \frac { 24 }{ x } + 1 + 1 < 4 \Leftrightarrow\\\,\\ \frac { 24 }{ x } < 2 \Leftrightarrow\\\,\\ \frac { 12 }{ x } < 1 \Leftrightarrow\\\,\\ x<0\quad\lor\quad x>12. $$Die im letzten Schritt eigentlich vorzunehmende Fallunterscheidung muss nun gar nicht mehr ausdrücklich hingeschrieben werden, da die Lösungsbedingungen offensichtlich sind.

Auch bei den anderen Teilaufgaben lässt sich durch geschicktes Umformen Arbeit sparen...