Wie zeigt man, ob die Menge M={a,b,c} mit den Operationen * und + ein Körper ist?

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die Menge \( M=\{a, b, c\} \), versehen mit den Operationen \( \oplus: M \times M \rightarrow M \) und \( \odot: M \times M \rightarrow M \), gegeben durch

\( \oplus \)	\( \boldsymbol{a} \)	\( \boldsymbol{b} \)	\( \boldsymbol{c} \)
\( \boldsymbol{a} \)	\( \boldsymbol{a} \)	\( \boldsymbol{b} \)	\( \boldsymbol{c} \)
\( \boldsymbol{b} \)	\( \boldsymbol{b} \)	\( \boldsymbol{c} \)	\( \boldsymbol{a} \)
\( \boldsymbol{c} \)	\( \boldsymbol{c} \)	\( \boldsymbol{a} \)	\( \boldsymbol{b} \)

\( \odot \)	\( \boldsymbol{a} \)	\( \boldsymbol{b} \)	\( \boldsymbol{c} \)
\( \boldsymbol{a} \)	\( \boldsymbol{a} \)	\( \boldsymbol{a} \)	\( \boldsymbol{a} \)
\( \boldsymbol{b} \)	\( \boldsymbol{a} \)	\( \boldsymbol{b} \)	\( \boldsymbol{c} \)
\( \boldsymbol{c} \)	\( \boldsymbol{a} \)	\( \boldsymbol{c} \)	\( \boldsymbol{b} \)

als Addition bzw. Multiplikation, ein Körper ist.

Answer 1

Den Tabellen entnimmst du:

Das Nullelement der Addition ist a.

Das Einselement der Multiplikation ist b.

Nun alle Körpereigenschaften an den beiden Tabellen überprüfen.

Alternative

Du kannst a=0, b=1 und c=2 setzen und siehst, ob

modulo 3 gerechnet werden kann. Dann hast du Z/3Z, von dem du vielleicht schon weisst, ob das ein Körper ist.

Comments

Kannst du bitte mal ein Beispiel für die akörpereigenschaft vorrechnen z.b Die Assoziativität bei der Addition

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Wenn du Z/3Z nicht kennst, kannst/musst du alles durchrechnen:

(a+b)+c = b+c = a

a+(b+c) = a+a = a ok.

(b+b)+a = c+a = c

b+(b+a) = b+ b = c ok.

usw. alle Fälle, die dir hier so einfallen systematisch durchtesten. Die Summen jeweils in der Tabelle ablesen.

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Wie würde das mit k/3k aussehen?

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Stelle die Additions- und Multiplikationstabelle für Z/3Z auf und vergleiche dann mit den vorliegenden Tabellen. Achtung: Geht nur, wenn du Z/3Z schon kennst.

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Ich verstehe nicht wie ich in der Tabelle a+b+c rechne

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Hab ich dir doch vorgerechnet. Rechne von links nach rechts und lies ab.

a+b+c = (a+b) + c

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Achse jetzt habe ich es verstanden danke

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Aber reicht es nicht dass man nur das erste zeigt, also das( a+b) +c = a+(b+c) ist da die assoziativität doch besagt es gelte für alle x,y,z.  (X+y) +z = x+(y+z)

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es gelte für alle x,y,z.  (x+y) +z = x+(y+z)

bedeutet, dass du für x, y und z beliebige Elemente des Körpers einsetzen musst. Durchaus auch x=y=z= a.

also (a+a)+a = a+(a+a) auch nachrechnen. Sind nicht so viele Fälle. Wenn du Kommutativität schon hast, musst du die Reihenfolge nicht mehr variieren. Ansonsten auch b+(a+c) = (b+a) + c nachrechnen.

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Ok Danke, Und wie mach ich das mit dem inversen Element

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a ist ja das neutrale Element bei Addition.

Nun suche jeweils eine Element in deinem Körper, s.d.

a + x = a

b+y = a

c + z = a

x, y und z sind dann die additiven inversen Elemente von a, b und c.

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Vielen dank, in dem Fall wäre dann a das Inverse jeweils oder. ,

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sorry. nein! Als Resultat muss da jeweils das neutrale Element der Addition also a stehen. Ich korrigiere das gleich oben noch.

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Ok Danke, jetzt bräuchte ich nur noch Hilfe beim inversen der multiplikation

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Das geht gleich. Suche das neutrale Element. Das ist hier b.

Und löse nun

a*x = b

b*y = b

c*z = b

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Hat dann x eine Lösung ?

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Richtig! Müsste es denn eine Lösung haben? Steht das in deiner Definition von Körper?

Hat in R die Gleichung 0*x = 1 eine Lösung?

Nein! Ein multiplikatives Inverses von a brauchst du offenbar nicht. Vgl. auch Punkt 2.4. der Definition hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Körper_(Algebra)