Bestimmen Sie Realteil, Imaginärteil und Absolutbetrag der folgenden komplexen Zahlen

Question

Bestimmen Sie Realteil, Imaginärteil und Absolutbetrag der folgenden Zahlen:

\( \begin{array}{l} z_{1}=(1+\sqrt{3} i)^{10}, \\ z_{2}=\left(\cos \left(\frac{6}{7} \pi-1\right)+i \sin \left(\frac{6}{7} \pi-1\right)\right) e^{3+i+\frac{1}{7} \pi i} \\ z_{3}=\frac{2 e^{\frac{2}{3} \pi i}}{3+7 i}, \\ z_{4}=2 e^{\frac{-i \pi}{2}} \end{array} \)

Answer 1

wenn die komplexe Zahl  a+bi ist, dann ist der Realteil das a
und der Imaginärteil das b und der Absolutbetrag ist wurzel(a^2+b^2).
und die Form r*e^{i*x} entspricht  r*(cos(x)+i*sin(x)).
relativ einfach ist z4:
2* e^{  (-pi/2)*i} =  2 * (cos(-pi/2) + i*sin(-pi/2) ) = 2* (0 +  i*(-1)  )  = 0 + i*(-2)
also  re(z4)=0    im(z4)=-2    und Betrag = 2

z3:  erst mal der Zähler, das gibt   2*( cos( 2pi/3) + i*sin(2pi/3) ) = 2 * ( -1/2  +  i*√(3)/2 ) = -1 + i*√(3)
also z3 insgesamt   ( -1 + i*√(3) ) / ( 3 +  7i )
Bei so einem Bruch ist es immer clever mit der
sogenannten konjugiert komplexen Zahl des Nenners zu erweitern.
Das ist die, bei der man das Vorzeichen des Im-teils rumdreht, hier also 3 -  7i

das gibt  (  ( -1 + i*√(3) )*(3 -  7i)   )   /     (( 3 +  7i )*(3 -  7i))
=     (   7√(3)-3   +   i*(7+3√(3))    /  40
=       (7√(3)-3)/40    +   i *   (7+3√(3)/ 40
da kannst du jetzt a und b ablesen.

bei z1 gehst du am besten andersherum vor
aus dem    1 + √(3)*i  machst du   2*(  1/2   +  i*√(3)/2 )   =  2 * e  ^(pi/3)i

wenn du das in dieser Form hoch 10 nimmst, hast du
z1 = 2^{10} * e^{(10pi/3) i}

da bei sin und cos immer nach 2pi der gleiche Wert kommt,
kannst du statt (10/3)pi auch mit (4/3)pi rechnen und hast
cos((4/3)pi) = -1/2   und sin((4/3)pi) = -√(3)/2
also z1 = 1024 * ( -1/2  -(√(3)/2)*i)

aus z2 machst du   e hoch( ^(6/7)pi-1 ) *  e hoch( ^{was da stand} )
und rechnest aus
Gibt jedenfalls was mit dem Betrag 1

Comments

super das hat mir echt weitergeholfen, hänge zwar noch an z2 aber probiere noch rum.

nur eine frage muss es nicht bei z3 -40 sein?

Answer 2

Zunächst kannst du die Zahlen, die nicht in Polarkoordinaten angegeben sind in Polarkoordinaten wandeln.

1 + √3·i = |1 + √3·i| * e^{i·ATAN √3/1} = 2·e^{pi/3·i}

Was passiert jetzt wenn du das hoch 10 nimmst. Beachte, dass du dabei jeden Faktor getrennt hoch 10 rechnen darfst.