Wie stelle ich eine Tangentengleichung bei einer Exponentialfunktion auf?

Question

kann mir einer helfen aus der Exponentialfunktion f(x)= 5*7^3x-4-2 die Gleichung der Tangente an der Stelle x=1 aufzustellen? Das bekomme ich irgendwie nicht hin. ^^

Answer 1

Hi,

nutze das Wissen, dass g(n) = a^n als Ableitung hat: g'(n) = ln(a) * a^n

Damit ergibt sich für f'(x):

f'(x) = 3*5*ln(7) * 7^{3x-4} = 15ln(7) * 7^{3x-4}

(Ist dies nicht bekannt, dann schreibe die Exponentialfunktion mittels e-Funktion um. Die 3 kommt übrigens aus der inneren Ableitung)

Nun haben wir f'(1) = 15*ln(7)*7^{-1} = 15/7*ln(7)

Dies entspricht der Steigung der Tangente.

Für f(1) haben wir f(x) = 5*7^{-1} - 2 = 5/7 - 2 als y-Wert zu x = 1.

Also haben wir bei y = mx+b ein m = 15/7*ln(7) und ein Punkt P(1|5/7 - 2)

Einsetzen und lösen:

5/7-2 = 15/7*ln(7) * 1 + b

b = -9/7 - 15/7*ln(7)

--> y = 15/7*ln(7)*x - 9/7-15/7*ln(7)

(Gerundet: y = 4,17*x - 5,46)

Grüße

Comments

Eine graphische Überprüfung:

 

Passt also ;)

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Wow, das habe ich sogar auf Anhieb verstanden. Danke

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Cool, das freut mich zu hören! Gerne ;)

Answer 2

f(x)= 5*7^3x-4-2

die -2 würden beim ableiten entfallen,
die 5 bleibt als konstanter Faktor erhalten.
Wir brauchen nur 7^{3x-4} ableiten.
wir wandeln
e^{ln[7^[3x-4]]}
e^{[3x-4]*ln[7]}

( e^term ) ´= e^term * ( term ´ )
( e^{[3x-4]*ln[7]} ) ´ =
e^{[3x-4]*ln[7]} * ln(7) * 3
zurückverwandeln
7^{3x-4} * ln(7) * 3
Insgsamt
f ´ ( x ) = 5 * 7^{3x-4} * ln(7) * 3

Comments

x = 1
f ( 1 ) = 5*7^3*1-4-2 = -9/7 = -1.29
f ´( 1 ) = 5 * 7^3*1-4 * ln(7) * 3
f ´( 1 ) = 4.17

f ( 1 ) = f ´( 1 ) * 1 + b
-1.29 = 4.17 * 1 + b
b = -5.46

t ( x ) = 4.17 * x + -5.46