Sei n element aus N. Berechnen Sie die Summe aus n ueber m * (1/2)^m

Question

$$ Sei\quad n\in N. Berechnen\ Sie\quad \sum_{m=0}^n{n\choose m}({1\over 2})^m $$

Das ist die erste Aufgabe vom Blatt, aber das Thema mit dem n ueber m ist neu und ich habe keine Ahnung wie ich da dran gehen soll, geschweige denn, wie ich das aufschreiben soll. Kann mir jemand vielleicht mit einem Ansatz helfen?

Answer 1

Die binomische Formel lautet ja
$$ (a+b)^n=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}a^kb^{n-k} $$
Wähle jetzt \( a= \frac{1}{2} \) und \( b=1 \) dann ist das Ergebnis \( \left( \frac{3}{2} \right)^n \)

Comments

Danke dir. Das hat mir sehr weitergeholfen. Als Ergebnis dann (3/2)^n aufzuschreiben reicht dann?

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Ja, mit der entsprechenden Begründung.

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Wie sollte die Begründung ungefähr aussehen? Muss man die Reihe auflösen also indem man den binomialkoeffzienten nutzt?

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Gast: Schreibe z.B.:

(1 + 1/2)^n = Gegebene Summe =  (3/2)^n        gemäss binomischem Lehrsatz.

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Aber wie kommt man denn auf a und b also auf 1/2 und 1

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Aaah ich habs jetzt dankeee

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Brauche ich da keine Zwischenschritte mehr aufschreiben?

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Der Zwischenschritt ist glaube ich mal einfach der Lösungsweg, bzw. das einsetzen von a und b und das folgende ausrechnen

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Okay, danke. Nach dem Einsetzen ergibt sich das Ergebnis ja dann. Mir kam es nur etwas kurz vor.