Wie rechne ich die Summe von Binomialkoeffizienten aus?

Question

ich habe die summe von k=-1 bis 9 gegeben mit10 über k+1. wie rechne ich den ausdruck aus ? also ohne gtr?

9
∑           ( 10
k=-1        k+1)

Answer 1

Das sind doch alle, von   10 über 0   bis   10 über 10

da gibt es eine Formel für, das ist   2¹⁰  .

Answer 2

\(\sum\limits_{k=-1}^{9} \) \( \begin{pmatrix} 10 \\ k+1 \end{pmatrix}\)

= \( \begin{pmatrix} 10 \\ -1+1 \end{pmatrix}\) + \( \begin{pmatrix} 10 \\ 0+1 \end{pmatrix}\) +\( \begin{pmatrix} 10 \\ 1+1 \end{pmatrix}\) + \( \begin{pmatrix} 10 \\ 2+1 \end{pmatrix}\) + ...  + \( \begin{pmatrix} 10 \\ 8+1 \end{pmatrix}\) + \( \begin{pmatrix} 10 \\ 9+1 \end{pmatrix}\)

= \(\sum\limits_{k=0}^{10} \)\( \begin{pmatrix} 10 \\ k \end{pmatrix}\) = 2¹⁰

Gruß Wolfgang

Comments

wolfram habe kommt nur auf 1023. Warum ?

https://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+comb+%28+%2810%29,%28k%29%29++from+k%3D+-1+to+k%3D+9

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Weil du nicht richtig eingegeben hast. ;)

https://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+comb+(+(10),(k%2B1))++from+k%3D+-1+to+k%3D+9 

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Es würde genügen nur bis (10über4) zu summieren, die Summe dann verdoppeln und (10über5) addieren.

(10über0)=(10über10), (10über1)=(10über9) usw.

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Danke, TR. Das +1 nach k hab ich glatt vergessen. Kein Wunder also. :)

Answer 3

Du solltest wissen, dass die Zeilensummen im Pascaldreieck Potenzen von 2 sind.

Grund: Jede der Zahlen geht immer 2 mal als Summand in eine Zahl der unteren Zeile ein. Ausnahme die beiden Randzahlen, die aber 2 neue Einsen am Rand geben.