Beweis einer Summe n über k

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Bild Mathematik
Bei dieser Aufgabe bin ich ein wenig am Verzweifen.
kann mir jemand einen Tipp geben wie ich anfangen soll und wie ich das Beweisen soll?

Gefragt 24 Okt von vanillacupcake123

Tipp: Vollständige Induktion

Hast du schon mal überlegt, dass der Fragesteller das mit seinem Tag eventuell gemeint haben könnte ?

 Der entsprechende Tag wurde nachträglich geändert, er hieß vorher "Zahlen"

dann nichts für ungut

Falls "Induktion" tatsächlich gar nicht in der Tag-Liste stehen sollte, dann geht es so :

[k=1 .. n]  k·5^k  =  f(5)   für  f(x) = ∑ [k=1 .. n]  k·x^k

f(x) = ∑ [k=1 .. n]  k·x^k  =  ∑ [k=0 .. n]  k·x^k

      = x·∑ [k=0 .. n]  k·x^(k-1)  =  x·∑ [k=0 .. n]  (x^k)'

      = x·(∑ [k=0 .. n]  x^k)'  =  x·((x^(n+1)-1)/(x-1))'

      = x·((n+1)·x^n·(x-1) - (x^(n+1)-1)) / (x-1)^2

f(5) = 5·((n+1)·5^n·4 - 5^(n+1) + 1) / 4^2

      = ( (n+1)·4·5^(n+1) - 5·5^(n+1) + 5 ) / 16

      = ( 5^(n+1)·(4n+4 - 5) ) / 16  + 5/16

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Verfahren vollständige Induktion (da für alle n ∈ ℕ gelten soll ...)

IA für n = 1 erfüllt: [...]

IV: Für ein n ∈ N gilt: $$\quad \sum _{ k=1 }^{ n }{ k*{ 5 }^{ k } } =\frac { 5 }{ 16 } +\frac { 4n\quad -\quad 1 }{ 16 } *{ 5 }^{ n+1 }$$

IB: Es sei $$\quad \sum _{ k=1 }^{ n+1 }{ k*{ 5 }^{ k } } =\frac { 5 }{ 16 } +\frac { 4(n+1)-1 }{ 16 } *\quad { 5 }^{ (n+1)+1 }$$

IS:

$$\quad \sum _{ k=1 }^{ n+1 }{ k*{ 5 }^{ k } } =\sum _{ k=1 }^{ n }{ k*{ 5 }^{ k } } +(n+1)*{ 5 }^{ n+1 }\\ \\ \overset { n.IV }{ = } \frac { 5 }{ 16 } +\frac { 4n-1 }{ 16 } *{ 5 }^{ n+1 }+(n+1)*{ 5 }^{ n+1 }\\ \\ =\quad \frac { 5 }{ 16 } +{ 5 }^{ n+1 }\left( \frac { 4n-1 }{ 16 } +(n+1) \right) \\ \\ =\quad \frac { 5 }{ 16 } +{ 5 }^{ n+1 }\left( \frac { 4n-1 }{ 16 } +\frac { 16(n+1) }{ 16 }  \right) \\ \\ =\quad \frac { 5 }{ 16 } +{ 5 }^{ n+1 }\left( \frac { 20n+15 }{ 16 }  \right) \quad =\quad \frac { 5 }{ 16 } +{ 5 }^{ n+1 }\left( 5*\frac { 4n+3 }{ 16 }  \right) =\frac { 5 }{ 16 } +\frac { 4n+3 }{ 16 } { 5 }^{ n+2 }=\frac { 5 }{ 16 } +\frac { 4(n+1)-1 }{ 16 } *\quad { 5 }^{ (n+1)+1 }$$

Beantwortet 25 Okt von gollumgollumgirl

n ∈ ℕ

Aussage für n = 1 ist gültig

Aussage für n + 1 ist gültig unter der Vorrausetzung dass die Aussage für n gilt

damit ist die Aussage für alle n ∈ ℕ gültig.

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