P(X=xi) = 1/n ; i=1,2 ... n. Wie groß ist der Erwartungswert und die Varianz dieser Verteilung?

Question

Eine Zufallsgröße \( X \) habe die Verteilung \( P\left(X=x_{k}\right)=\frac{1}{n}, k=1,2, \ldots n \)

Berechnen Sie \( E X \) und \( \operatorname{Var}(X) \).

Answer 1

Hi,

du hast doch bestimmt deine Definitionen für Erwartungswert und Varianz.

Setze doch P in die Definition für Erwartungswert ein und du kriegt in diesem Fall das arithmetische Mittel raus.

Setz dies dann wiederum in deine Varianz ein und du kriegst die unkorrigierte Stichprobenvarianz herais.

Gruß

Comments

So richtig?

E(X) = ∑ x_k • P( X=x_k)

also hier:

$$ E(X)= 1*\frac { 1 }{ n} +2 * \frac { 1 }{ n } ... + n *\frac { 1 }{ n }= \frac { 1+2+ ....+n }{ n } = (\frac {n²+n }{ 2*n })= (\frac {n }{ 2 }+ \frac { 1 }{ 2 })$$

und für V(X)

V(X) =   E(X²) - E(X)²

E(X)²= $$  (\frac {n }{ 2 }+ \frac { 1 }{ 2 })^2 = \frac {n² }{ 4 } +\frac {n }{ 2 }+\frac {1 }{ 4 }$$

E(X²) =
$$ (\frac { 1² +2² ...+n² }{ n })= (\frac { n* (n+1)*(2n+1) }{ 6 })=(\frac { 2n³ +3n² +n }{ 6 })= \frac { n³ }{ 3}+\frac { n² }{ 2}+\frac { n }{ 6}$$

V(X)= $$\frac { n³ }{ 3}+\frac { n² }{ 2}+\frac { n }{ 6} - \frac {n² }{ 4 } -\frac {n }{ 2 }-\frac {1 }{ 4 }= \frac {4n³+3n²-4n-3 }{ 12 }$$

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ein kleiner fehler passiert, sry, so müsste es jetzt richitg sein?

E(X²)=
$$ (\frac { 1² +2² ...+n² }{ n })= (\frac { n* (n+1)*(2n+1) }{ 6n })=(\frac { 2n³ +3n² +n }{ 6n })= \frac { n² }{ 3}+\frac { n }{ 2}+\frac { 1 }{ 6}$$

Damit

V(X)= $$ \frac { n² }{ 3}+\frac { n }{ 2}+\frac { 1 }{ 6} - \frac {n² }{ 4 } -\frac {n }{ 2 }-\frac {1 }{ 4 } = \frac {n²-1 }{ 12 } $$

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könntest eventuell noch diese Frage dir ansehen:

https://www.mathelounge.de/175234/erwartungswert-und-varianz-stochastik

Ich würde mich auf eine antwort freuen.

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das würde alles nur Sinn machen, wenn deine Zufallsvariable die Werte $$x_k = k $$ annehmen würde, was jetzt nicht wirklich aus dem Teil der Aufgabenstellung den du gepostet hast hervorgeht.

Gru´ß

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oh stimmt.
Jetzt verstehe ich auch das arithmetische Mittel und die unkorriegierte Stichprobenvarianz, was du erwähnt hattest

Wow hätte nicht gedacht, dass das so einfach sei. Danke nochmals!