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Ich soll bei dieser Aufgabe die Divergenz, Konvergenz oder absolute Konvergenz beweisen:

\( \left(\sum \limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \cdot \frac{2 n^{2}+\sqrt{n}}{n^{\frac{5}{2}}}\right) \)


Ansatz:

Ich bin soweit, dass ich sagen kann, limes n->unendlich ist 0

Also ist schon mal ein Kriterium erfüllt. Der nächste Schritt ist doch, dass an>=an+1 ist oder?

Allerdings kann ich die Ungleichung nicht auflösen... Oder geht man dabei anders vor?


\( \lim n->\infty \frac{2 n^{2}+\sqrt{n}}{n^{\frac{5}{2}}}=\lim n->\infty \frac{\frac{2}{\sqrt{n}}+\frac{1}{n^{2}}}{1}=0 \)

\( a_{n} \geq a_{n+1} \)

Und jetzt die Ungleichung oder?

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Beste Antwort

ja genau, sobald du die Monotonie nachgewiesen hast, ist die Reihe nach dem Leibniz-Kriterium konvergent.

Gruß

Avatar von 23 k

Ja nur leider schaff ich es nicht, die Ungleichung aufzulösen.. da bräuchte ich Hilfe ^^ die wird sehr kompliziert...oder muss ich die gar nicht auflösen? Darum gehts

Du hast doch schon den Term umgeformt zu

$$ \frac{2}{\sqrt{n}} + \frac{1}{n^2} $$

wenn du n+1 anstatt n einsetzt sind doch beide Summanden jeweils kleiner als die Summanden vorher (weil die Nenner größer sind) also ist die Summe auch kleiner. Also keine komplizierte Ungleichung.

Aso das reicht so schon? Dann war ich ja die ganze zeit schon fertig ^^ vielen dank.

Im Grunde schon, so lange du das was im Text steht mathematisch korrekt notiert hast :)

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