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Hallo ich muss in Mathe den/die Extrempunkte und den Wendepunkt von der Funktion f(x)=(4-x)*e-x berechnen, leider schaffe ich es nicht einmal die Ableitungen zu bestimmen... :( Das wäre echt super toll wenn das jemand für mich machen könnte.. (Ist doch hoffentlich nicht soviel oder???)

Vielen vielen Dank!! :))

von

f(x) = e^{-x}·(4-x)
f '(x) = e^{-x}·(x - 5)
f ''(x) = e^{-x}·(6 - x)

Jetzt solltest Du den Rest alleine können oder?

kurze Frage wird bei der 1. Ableitung das e-x nicht zu -e-x oder ist das schwachsinn was ich hier schreibe? :D

also wenn ich mal deine Ableitungen nehme bekomme ich bei den x-werten das:

 

Extrempunkt: f'(x)=0

e-x*(x-5)=0
x-5=0

x=5

Das muss ich dann in f(x)=(4-x)*e-x einsetzen also:

f(5)=(4-5)*e-5

= ???? keine Ahnung :S

passt das denn so?

Wendepunkt: f''(x)=0

e-x*(6-x)=0

6-x=0

x=6

Einsetzen:

f(6)=(4-6)*e-6
= ??

ist das falsch oder passt das so?

ich meine beim Einsetzten beim Extrempunkt e-5 und beim Wendepunkt e-6

Yup, das ist richtig. Jetzt noch ausrechnen ;).

f(5)=(4-5)*e-5≈-0,0067

f(6)=(4-6)*e-6≈-0,0049

 

 

Wegen der Ableitung: Du kannst direkt die Produkt- (und Kettenregel) anwenden, oder erst ausmultiplizieren und jeden Summanden an sich ableiten. Es braucht wieder beide Regeln (zumindest für einen Summanden). Probierst du es selbst?

danke, das ausrechnen konnte ich net.. also hat der Extrempunkt die Koordinaten (5|-0,0067)

und der Wendepunkt (6|-0,0049)? Das sind ja blöde y-werte :D

Entweder so stehen lassen als E(5|-0,0067) oder als E(5|-e-5). Letzteres ist dann gar nicht mehr so unschön, wobei ersteres eher eine Vorstellung erlaubt, an welcher Stelle des Zahlenstrahls wir uns befinden ;).

Nun weiß man aber immer noch nicht, ob an der Stelle  x = 5  tatsächlich ein Extrempunkt vorliegt und, falls das der Fall sein sollte, ob es sich um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt. Dazu müsste man den Wert noch in die zweite Ableitung einsetzen.
Na dann tu das. Der Weg ist der richtige. Du musst ihn nur noch beschreiten ;).
das mit dem in 2. Ableitung einsetzten habe ich net geschrieben :D zu viele "Anonym" leute hier.. also wenn ich das in die 2. Ableitung einsetzte und da <0 rauskommt ist es ein Tiefpunkt und >0 ein Hochpunkt oder anderrum?
Aso^^. In der Tat zu viele "Anonym".

 

Ist genau andersrum:

f'(x)=0 und f''(x)<0 -> Hochpunkt

f'(x)=0 und f''(x)>0 -> Tiefpunkt
ahh so meinte ich das auch aber gut :) Vielen vielen dank dann wären jetzt alle fragen geklärt :))

1 Antwort

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Ich kopiere mal die Antworten im Kommentar zusammen:

f(x) = e^{-x}·(4-x) 
f '(x) = e^{-x}·(x - 5) 
f ''(x) = e^{-x}·(6 - x)

Extrempunkt: f'(x)=0

e^{-x}*(x-5)=0
x-5=0

x=5

f(5)=(4-5)*e^{-5} = -e^{-5} ≈ -0,0067

E(5| -0.0067)



Wendepunkt: f''(x)=0

e^{-x}*(6-x)=0

6-x=0

x=6

 

f(6)=(6-4)*e-6 = 2 e^{-6} ≈ 0,0049    Achtung: Vorzeichen!

W(6 | 0.0049)

Betrachte nun die bekannten Punkte

f(4) = 0 Nullstelle N(4|0)

E(5 | -0.0067 )

W(6 | 0.0049)

Das heisst, die Kurve verläuft zwischen x=4 und x=5 gegen unten und danach gegen oben.

Deshalb ist E ein Tiefpunkt. Man muss die Rechnung eigentlich gar nicht mehr durchführen.

Ansonsten wäre die Rechnung, wie im Kommentar oben diskutiert:

f'(x)=0 und f''(x)<0 -> Hochpunkt

f'(x)=0 und f''(x)>0 -> Tiefpunkt

von 162 k 🚀

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