Integration: Quaderförmiger Swimmingpool wird mit Wasser gefüllt. Zulaufratenfunktion: f(t) = t3-13t2+ 40t.

Question

Hallo leuts könnt ihr mir f) und g) erklären was ich da machen soll danke da ich Klausur schreibe 
Aufgabe:
Ein quaderförmiger Swimmingpool mit 8 \( \mathrm{m} \) Länge, \( 5 \mathrm{m} \) Breite und \( 3 \mathrm{m} \) Höhe wird mit Wasser gefüllt.
Zu Beginn beträgt die Wasserhöhe \( 0,1 \mathrm{m} \)
Der Zu-bzw. Abfluss des Wassers wird modellhaft beschrieben durch die Zulaufratenfunktion f mit
$$ {f(t)=t^{3}-13 t^{2}+40 t, \quad 0 \leq t \leq 9} \\ {\text {f(t) in Kubikmeter pro Stunde, t in Stunden  ) }} $$
a) Geben Sie die Zeitpunkte an, zu denen das Wasser weder zu- noch abläuft.
b) Berechnen Sie die Zeitpunkte des maximalen Zu- bzw. Abflusses.
c) Skizzieren Sie den Graphen der Zulaufratenfunktion f.
d) Wie viel Wasser befindet sich nach 3 Stunden im Pool?
e) Bestimmen Sie die Höhe des Wasserstands am Ende des gesamten Einfüllvorgangs.
f) Berechnen Sie die maximale Wassermenge im Pool.
g) Erläutern Sie, weshalb die Definitionsmenge von \( f \) beschränkt ist.

Answer 1

a: Nullstellen der Funktion

b: Nullstellen der Ableitung

d:integration

Comments

danke ich wollte nur f) und g)

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Das Befüllmaximum ergibt sich aus den Nullstellen der Ableitung der Integralfunktion $$\int_0^T f(t) dt$$ was praktischerweise die Nullstellen der gegebenen Füllfunktion sind, die bereits berechnet wurden.

Zusätzlich muss man noch prüfen, wie voll das Bassin bei T=0 und T=9 ist - vielleicht gibt es da Werte, die über den lokalen Extrema liegen.

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Definitionsmenge für f ... was ist damit gemeint ?

falls an t gedacht wurde, dann ist mit negativen Zeiten schlecht umzugehen.

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Ich habe vergessen, das das Becken nicht leer ist am Anfang und dass es überlaufen kann.

Also ist vielmehr zu berechnen, wann es voll ist mit 120= Vo+Integral f(t)dt von 0 bis T

Tvoll=3,87s

Answer 2

g)  Definitionsbereich beschränkt, da sonst Überlaufen angesagt.

Denn für x gegen unendlich geht Zulaufrate gegen unendlich, eher unrealistisch.

f)zu beginn 4 m³ drin, also nach x Stunden

4 + integral von 0 bis Integral von x über f(t)dt

= 4 + (1/4)x⁴ - (13/3)x³ + 20x²

davon das Max bestimmen

Ableitung ist x³ - 13x² +40x

hat Nullstellen bei 0 und bei 5 und bei 8.

2. Ableitung  3x² -26x +40

mit f''(0) = 40  und f''(5)=-15   und f''(8) = 24

also max bei x=5 mit

wassermenge zum Zeitpunkt 5 ist

4 + (1/4)x⁴ - (13/3)x³ + 20x²   für x=5

also  ungefähr 122,6 m³  .

Passen aber nur 120 rein.

vielleicht habe ich mich verechnet oder

der Aufgabensteller     :-)

Comments

4 + 1/4·5⁴ - 13/3·5³ + 20·5² = 118.6 m³

Hast du zweimal die 4 addiert ?