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Das Thema ist Stetigkeit und Differenzierbarkeit. Dabei soll die Integration abschnittweise berechnet werden. Jetzt ist meine Frage warum ?

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hast du ein konkretes Beispiel ?

g(x) ={6x+3, x <2{8x-1, x><2

Integral von 1 bis 3 g(x)dx= integral 1 bis 2 g(x)dx+ integral 2bis 3 g(x)dx =[3x^2+3x]von 1 bis 2    + [4x^2-x]  von 2 bis 3=12+19=31

1 Antwort

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Wenn die Funktion stückweise definiert ist, musst du bei der Integration zwischendrinn den Integranden ändern.

Beispiel.

f(x) : = x+1 , für 0≤x≤2

f(x): = 2x, für 2<x≤3

f(x):= x-1, für 3<x≤ 5

Nun ist

05 f(x) dx = ∫02 (x+1) dx +  ∫23 2x dx +  ∫35 (x-1) dx 

Mach dir da an dieser Skizze klar: Identifiziere f und schraffiere den Flächeninhalt, der hier berechnet werden muss.

Bild Mathematik

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Zunächst danke für ihre Antwort. Jedoch wird mir der Grund immer noch nicht klar

Das sollte nun so aussehen: Bild Mathematik

Vielen vielen Dank. Wie ist es mit dieser Aufgabe? Warum wurde der Integral abschnittsweise bestimmt ?

g(x) ={6x+3, x <2      

           {8x-1, x><2 


Integral von 1 bis 3 g(x)dx= integral 1 bis 2 g(x)dx+ integral 2bis 3 g(x)dx =[3x2+3x]von 1 bis 2    + [4x2-x]  von 2 bis 3 =12+19=31

Warum wurde der Integral abschnittsweise bestimmt ?

Weil die Funktion abschnittweise definiert ist.Du meintest aber sicher

g(x) ={6x+3, x <2      

           {8x-1, x ≥ 2 

Zeichne hier beide Geraden in den Graphen und markiere die richtigen Stücke im Graphen.

Probiere das selbst mit

https://www.matheretter.de/tools/funktionsplotter/ und https://www.matheretter.de/rechner/geozeichner

Bild Mathematik

Genau das meine ich.  Ist das so richtig ?

Ich habe jetzt mit dem Faktor 10 gestaucht, damit das Wichtige sichtbar bleibt..

In y-Richtung ist 3 und 20 gemeint (nicht 0.3 und 2).

Bild Mathematik

tut mir Leid, dass ich mich so dumm anstelle aber was meinst du mit de Faktor tauschen ? Wie muss die Gleichung dann aussehen ?

Du musst nur die y-Achse anders anschreiben. Da steht vom Plotter 0.3 und 2.0.

Es sollte aber 3 und 20 stehen.

Also kann ich das so zusammenfassen: Wenn die Funktion abschnittsweise differenzierbar ist, muss man die Integration auch abschnittsweise berechnen ? Und wenn es Stetig ist, ist es nicht notwendig oder?

 Wenn die Funktion abschnittsweise definiert ist, muss man abschnittweise integrieren.

Eine Funktion muss nicht unbedingt differenzierbar oder stetig sein, damit sie integrierbar ist. 

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