Man zeige, dass die Umkehrabbildung eines Isomorphismus wieder ein Isomorphismus ist.

Question

Sei f : V → W ein Isomorphismus (d.h. eine bijektive lineare Abbildung) von Vektorräumen. Man zeige, dass die Umkehrabbildung f ⁻¹ : W → V auch ein Isomorphismus von Vektorräumen ist.

Answer 1

fraglich ist nur die Linearität von f^{-1}. Dazu seien s,t Skalare und x,y aus V mit u=f(x) und v=f(y). Dann gilt:

f(s*x+t*y)=s*f(x)+t*f(y)=s*u+t*v

Also gilt:

f^{-1}(s*u+t*v)=s*x+t*y=s*f^{-1}(u)+t*f^{-1}(v)