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Wie soll ich das beweisen?

Seien V und W zwei K-Vektorräume und sei f : V → W ein Isomorphismus.

Zeigen Sie, dass die Umkehrabbildung f^{-1} : W→ V auch ein Isomorphismus ist.

von

1 Antwort

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Isomorphismus gilt nur, wenn die Abbildung linear ist. Du musst also zwei Dinge zeigen:

1. f-1 ist eine Bijektion.

2. f-1 ist linear.

Zu 1.: Ergibt sich aus der Definition.

Zu 2.: Seien w1,w2 ∈W, dann gilt f -1 (w1 + w2 ) = f -1 (f(f -1 (w1 )) + f(f -1 (w2 )))

= f -1 (f(f -1 (w1 ) + f -1 (w2 ))) (wegen der Linearität von f)

= f -1 (w1 ) + f -1 (w2 ).

Analog dazu kann die skalare Multiplikation behandelt werden.

von 2,5 k
Dank dir! Kannst du nochmal aufschreiben wie die skalre Multiplikation in diesem Fall aussehen würde?
das wäre sehr hilfreich

Für w∈W und x∈K gilt:

f-1 (xw) = f-1(x*f(f-1(w))) = f-1(f(x*f-1(w))) = x*f-1(w)

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