Wir zeigen erst Aufgabenteil b).
Zur Wiederholung und um zu zeigen welche Notation ich benutze (falls ihr irgendwie komische Dinge tut), für einen Homomorphismus \(f:V\to W\) ist der duale Homomorphismus \(f^*:W^*\to V^*\) gegeben durch: \(f^*(w^*)(v)=w^*(f(v))\) für ein \(w^*\in W^*\) (hier sehen wir den Dualraum \(X^*\) als den Raum der linearen Funktionale \(X\to\mathbb{R}\). Wörtlich: \(f\) gibt einen Weg, lineare Abbildungen von \(W\) aus zu linearen Abbildungen von \(V\) aus zu machen, indem man erst über \(f\) nach \(W\) wechselt und dann die gegebene Abbildung anwendet.
Seien jetzt \(\Phi,\Psi\) wie in der Aufgabenstellung gegeben, dann gilt nach Definition:
\((\Phi\circ\Psi)^*(w^*)(u) = w^*(\Phi\circ\Psi(u)) = \Phi^*(w^*(\Psi(u)))=(\Phi^*(w^*))(\Psi(u))=\Psi^*(\Phi^*(w^*(u)))=\Psi^*\circ\Phi^*(w^*)(u)\)
für alle \(w^* \in W^*\) und \(u\in U\), also gilt \((\Phi\circ\Psi)^*=\Psi^*\circ\Phi^*\).
Jetzt als Übung: Es gilt \((id_V)^*=id_{(V^*)}\), also das Duale der Identität ist die Identität im Dualraum. Das zu beweisen ist nicht so schwer, du musst halt präzise wieder die Definition einsetzen.
Daraus folgt dann auch direkt die a), denn wenn \(\Phi\) ein Isomorphismus ist, dann gilt für das Inverse:
\(\Phi\circ\Phi^{-1}=id_W\) und \(\Phi^{-1}\circ\Phi=id_V\), also gilt nach Nehmen der Dualabbildung:
\((\Phi^{-1})^*\circ\Phi^* = id_{(W^*)}\) und \(\Phi^*\circ(\Phi^{-1})^*=id_{(V^*)}\), also ist \((\Phi^{-1})^*\) die inverse Abbildung zu \(\Phi^*\).
