Konvergenten Folgen, Betragssatz(Nullfolge)

Question

Ich habe diese Sätze leider nicht verstanden, könnt ihr mir diese eventuell an Hand von Beispielen erklären ?

Gilt mit der Nullfolge (αn) fast immer | a_n -a|≤ a_n, so strebt a_n →a.

Beachtet man die Ungleichung || a_n |-|a||≤| a_n -a|, so enthält man aus diesem Satz und der ersten Bemerkung zum Vergleichssatz sofort den wichtigen

Betragssatz

Aus a_n →a folgt | a_n | →|a|. und ist fast immer | a_n |≤γ, so gilt auch |a|≤γ.

Answer 1

Gilt mit der Nullfolge (αn) fast immer | a_n -a|≤ a_n, so strebt a_n →a.

zum Nachweis von an strebt gegen a musst du doch zeigen:

sei eps>0 .........        dann   | a_n -a|< eps

wenn   | a_n -a|≤ a_n gilt und an zu einer Nullfolge gehört gilt

ab einem no jedenfalls     | a_n -0|< eps  also  | a_n |< eps

also beides zusammen besagt dann

| a_n -a|≤ a_n    und    | a_n |< eps    also auch   | a_n -a|< eps

um |an| geht gegen |a|  zu beweisen muss nach der eps-Def.

wieder  ....................... |  |an| - |a| | < eps bewiesen werden

wegen an geht gegen a hat man ....... | a_n -a| < eps   (*)

wegen der gegeb. ungleichung || a_n |-|a||≤| a_n -a|, 

hat man zusammen mit (*) [und der Transitivität von < ]

also auch || a_n |-|a||  < eps