Fertigen sie Skizzen der folgenden Mengen an:

Question

$$(a)\quad \left\{ z\quad \in \quad ℂ\quad |\bar { z } \quad =\quad -z \right\} \\ (b)\quad \left\{ z\quad \in \quad ℂ\quad |\quad \bar { z } \quad =\quad \frac { 1 }{ z }  \right\} \\ (c)\quad \left\{ z\quad \in \quad ℂ\quad |\quad Re(z)\quad =\quad 3*Im(z) \right\} \\ (d)\quad \left\{ z\quad \in \quad ℂ\quad |\quad Re(z)\quad <\quad Im(z) \right\} \\ (e)\quad \left\{ z\quad \in \quad ℂ\quad |\quad |2z\quad -\quad 3|\quad <\quad 1 \right\} \\ (f)\quad \left\{ z\quad \in \quad ℂ\quad |\quad |z\quad -\quad 2|\quad =\quad |z\quad +\quad i| \right\} \\ (g)\quad \left\{ z\quad \in \quad ℂ\quad |\quad |z\quad +\quad 2i|\quad =\quad |\bar { z } -\quad 2i| \right\} \\ (h)\quad \left\{ z\quad \in \quad ℂ\quad |\quad Re({ z }^{ 2 })\quad >\quad 0 \right\} $$

Kann mir bitte jemand erklären, wie man diese Mengen deuten muss und mir eventuell bitte einige Lösungsansätze aufschreiben?

Danke :)

Comments

Ersetze in allen Aufgaben z durch \( \left(x+y\cdot \textrm{i} \right) \) und vereinfache dann soweit wie möglich.

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Ich kapiere es leider immer noch nicht, kann jemand ein Beispiel z. B. die (a) zeigen? = (

Ich raffe einfach nicht, wie man das skizzieren soll : (

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$$ \text{(a)}\quad \left\{\, z \in ℂ\,|\,\bar{ z } = -z \,\right\}\\\,\\ x-y\cdot\text{i} = x+y\cdot\text{i}\quad\Leftrightarrow\quad-y=y\quad\Leftrightarrow\quad y=0. $$

Das sollte leicht zu skizzieren sein.

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danke für deine Antwort = ). Würde die Skizze so in etwa richtig sein, weil es ist ja y=0=? Gruß 

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muss es nicht so heißen:x - iy = -(x + iy)= x -iy = -x -iy ?dann wäre dass x= -x also x=0Also die Imaginäre Achse und nicht die Real Achsehoffe es ist richtig :/

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Ja, Du hast recht, vielen Dank für den Hinweis!
Ich habe das Minus von der rechten Seite verloren :-(
Hier die richtige Rechnung:
$$ \text{(a)}\quad \left\{\, z \in ℂ\,|\,\bar{ z } = -z \,\right\}\\\,\\  x-y\cdot\text{i} = -\left(x+y\cdot\text{i}\right)\quad\Leftrightarrow\quad x=-x\quad\Leftrightarrow\quad x=0.\\\,\\  \text{Berichtigte Rechnung!}  $$ Dies ergibt in der Tat die imaginäre Achse als Lösung.

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Kann mir einer bei (d) und (h) behilflich sein?
also bei beiden bekomme ich am ende raus, dass x<y ist.
(d) -> z=x+iy  also x<y
(h) -> z²=(x+iy)²
        = x² + 2ixy + y²
Realteil => x² +y²>0
                  y² > -x²
                  y > √((-x)²)
                  y > x
 oder andersrum  : x²> -y²
                               x > y
was bedeutet das und was ist jetzt zu zeichnen?

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Kann bitte jemand alle Aufgabenteile einmal erklären und eventuell durchrechnen? Ich weiß überhaupt nicht, was zu tun ist...

Answer 1

mit dem Tipp aus dem Kommentar ist das z.B im 1.Fall:   für z=a+bi
zquer = a-bi    -z= -a-bi
damit die gleich sind, muss  a=-a sein, b ist egal
a=-a gilt aber nur für a=0   also alle komplexen Zahlen
mit a=0 und beliebigem b.
Das sind alle, die zu den Punkten auf der imaginären Achse gehören.

z.B bei Fall 3 hieße ja   alle a+bi mit  a=3*b   bzw. b = (1/3)a
also Gerade durch (o/o) mit Steigung 1/3

Comments

Danke für die Antwort. Könntest du mir bei der (b) auch helfen.

Also ich bin so weit:

x-iy = 1/x+iy   │ *(x+iy)

(x - iy) * (x + iy) = 1

x^2 - (i^2) * (y^2) = 1   und da i^2 = -1

x^2 + y^2 = 1

wie muss ich jetzt weiter machen? und was genau zeichnen?

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Damit ist die Rechnung fertig und Du hast eine Kreisgleichung in Mittelpunkt-Radius-Form. Dein Argand-Diagramm besteht also aus der Skizze des entsprechenden Kreises!

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also Kreis um (o/o) mit radius 1

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Achso :) Danke schön!

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Kann mir einer bei (d) und (h) behilflich sein?
also bei beiden bekomme ich am ende raus, dass x<y ist.
(d) -> z=x+iy  also x<y
(h) -> z^2=(x+iy)^2
        = x^2 + 2ixy + y^2
Realteil => x^2 +y^2>0
                  y^2 > -x^2
                  y > √((-x)^2)
                  y > x
 oder andersrum  : x^2> -y^2
                               x > y
was ist jetzt zu zeichnen?

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(h) -> z²=(x+iy)²
        = x² + 2ixy + y²  VERRECHNET es muss  x² + 2ixy - y²
heißen.

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stimmt, danke. also dann:

x^2 - y^2 > 0

-y^2 > -x^2

y < √(x^2)

y < x

aber was zeichnet man dann in diesem fall?

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x² - y² > 0

Bei deinem Wurzelziehen hast du immer die neagtiven Möglichkeiten vergessen,

besser so

(x-y)(x+y) > 0

( (x-y) > 0 und (x+y) > 0  )  oder( (x-y < 0 )  und (x+y)< 0 )

(x >y           und y > -x )           oder  ( x < y      und y< -x ) 

x=y und y=-x sind die       Winkelhalbierenden

und y<x heißt z.B. Punkte unterhalb der Winkelhalbierenden

des 1. und 3. Quadranten. etc.

zeichne die mal ein, dann bekommst du 4 "Viertel"

Dann sagt die Bedingung   (x >y           und y > -x )

Das ist das "Viertel", dass rechts von der y-Achse im 1. und 4. Quadranten liegt.

( x < y      und y<- x )  ist das "Viertel" gegenüber

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Vielen dank für deine Hilfe :D Habe es jetzt etwas besser verstanden.

Tut mir leid, wenn ich so oft nachfrage, aber bei (e), (f) und (g) reiß ich mir gleich die Haare aus :/

Ich komme bei diesen Aufgaben nicht mehr weiter.

Kannst du mir bitte helfen?

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Vielleicht noch jemand eine Idee zu den letzten vier Aufgaben?

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Meinst du Aufgabe 3 (e) bis (h) oder die Aufgabe 4?

Bei Aufgabe 4 bräuchte ich nämlich auch Hilfe =(

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Ich sehe keine Aufgabe 3 oder 4. Ich würde mal vorschlagen, genau eine einzige Aufgabe zu betrachten, diese dann schrittweise zu lösen und dann zu schauen, ob die anderen Aufgaben nicht vielleicht ähnlich und ohne Hilfe zu erledigen sind!

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e)  |2z - 3 |  <  1  oder auch

      |z - 3/2 |  <  1/2

Die Pfeile zu den komplexen Zahlen  z-3/2 bzw.   z  -  (3/2 + 0*i)

kannst du dir vorstellen, als Pfeile, die vom Punkt (3/2   ;  0)

zur Spitze von z führen.

wenn deren Länge 1/2 ist, liegen die Spitzen von z alle im

Inneren des Kreises um    (3/2   ;  0) mit Radius   1/2

| z-2|  =  |z+i|

| (a-2) + bi |  =  | a + (b+1)i|   Beträge quadrieren gibt

(a-2)^2 + b^2   =  a^2  + (b+1)^2

jetzt rechne mal aus und bring auf die Form   b =   m*a  +  n

Aha:   Geradengleichung

g) geht vielleicht ähnlich

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Danke für deine ausführliche Antwort! Den Rest sollte ich ohne Hilfe schaffen.

@Gast: ja, ich meine e-h. Hat sich jetzt aber nach der Antwort von mathef erledigt.

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kann mir bitte jdn helfen wie man (d) , (e) ,(f), (g) und (h) zeichnet ? das wäre super lieb ^^

Sabrina

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Die Skizze zu (d) beschreibt die Halbebene oberhalb der Hauptdiagonalen.

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Danke schön für die Antwort , das ist sehr lieb ! könntest du es mir bitte mal zeichnen  ? ich bin mir leider nicht sicher wie ich es zeichnen soll :(

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Ich denke mal (d) sieht in etwa so aus:

ddabei ist blau die hauptdiagonale und lila die menge

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Vielen Dank momo ! und kannst du mir e) bis g) auch skizzieren bitte ? falls du es geschafft hast natürlich :)

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sorry ich habe die (e) und (g) noch nicht skizziert.

aber (f) sieht so aus, denke ich mal :/

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Kann mir jemand (e) , (g) und (h) skizzieren?

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