Konvergenz einer Folge untersuchen (Habe bereits eine Idee)

Question

Untersuchen Sie die Folge (an)n element der Natürlichen Zahlen auf Konvergenz:

an :=   1 falls ein k element der hatürl. Zahlen mit n=k! existiert

1/n      sonst

Meine Idee:

Wenn man z.B. 1n=1 ist , so wäre die Lösung ja 1, da 1!=1.

bei n=2 wäre die Lösung auch 1, da 2=2!

bei n=3 wäre die Lösung 1/3, da sich die 3 nicht als Fakultät darstellen lässt.

Nun sehen wir ja, dass wenn n gegen unendlich läuft die werte im kleiner werden, wegen den jeweiligen Brüchen (wo sich n nicht als Fakultät darstellen lässt)

ABER: Die 1 wiederholt sich zwischendurch auch immer wieder, nämlich da wo sich das n als Fakultät darstellen lässt!!!

Also was ist das denn nun???

Ist es divergent, weil die werte ja immer kleiner werden? Wobei mich da die immer wiederholende 1 stört

oder ist es konvergent?????

Wäre sehr Nett wenn mir hier jemand weiter helfen könnte!

Ich bedanke mich schon einmal im Voraus :)

LG

Answer 1

Du hast das Verhalten der Folge richtig beschrieben: Es gibt unendlich viele Indizes n, für die a_n sich der 0 annähert und ebenso unendlich viele, für die sich a_n der 1 annähert (nämlich die mit n=k!). Man nennt dann 0 und 1 Häufungspunkte der Folge. Wenn eine Folge 2 verschiedene Häufungspunkte hat, ist sie divergent.

Comments

Super vielen Dank :) Dann muss ich mir noch mal Häufungspunkte näher anschauen ;)

Answer 2

->
deine Folge hat ZWEI Häufungspunkte  ( .. bei -> 0 .. und bei  -> 1)

und:
eine Folge ist nur dann konvergent, wenn sie genau NUR einen Häufungspunkt hat..

->  dh: deine Folge ist divergent ..

Tipp:
 informiere dich über -> Häufungspunkte... und  -> Grenzwert

.