In dieser Aufgabe wird anhand der Idee von Archimedes (288-212 v. Chr.) eine Folge konstruiert, die gegen π konvergiert.

Question

Aufgabe:

 In dieser Aufgabe wird anhand der Idee von Archimedes (288-212 v. Chr.) eine Folge konstruiert, die gegen π konvergiert. Dazu beginnt man mit einem in den Einheitskreis einbeschriebenen regelmäßigen Sechseck. Es sei a₀ die Seitenlänge dieses Sechsecks und für n ∈ N sei an die Seitenlänge desregelmäßigen 6·2ⁿ-Ecks.

(a) Zeigen Sie: Es ist a_n+1 =√(2−√4−(a_n)²⁾ für alle n ∈ N₀. Begründen Sie außerdem geometrisch, dass a₀ = 1 ist.

 (b) Zeigen Sie: Die Folge {x_n}_n∈N0 mit x_n := 3·2ⁿ ·a_n ist konvergent.

 (c) Begründen Sie geometrisch, dass der Grenzwert der Folge {x_n} als Definition von π verwendet werden kann.

Problem/Ansatz:

Answer 1

Wo steckst du denn fest?

Hast du bereits mal eine Skizze des 6 Ecks und des 12-Ecks gemacht?

Von den gleichschenkligen Dreiecken kennst Du die Länge der Schenkel.

Die Basis ist jetzt dein an.

Comments

Die soll die Skizze des 6 Ecks und des 12-Ecks sein.

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Super. Jetzt kannst du auch gewiss an der Skizze begründen, dass a0 = 1 ist oder?

Außerdem sollst du ja aus der länge von an die Länge von an+1 herleiten. Dann kannst du ja mal aus der Länge von a0 die Länge von a1 herleiten.

Ich denke das solltest du hinbekommen.