Ungleichung soll für alle n ≥ 1 gelten

Question

Für natürliche Zahlen \( n \geq 1 \) seien

\( a_{n}:=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} \quad \text { und } \quad b_{n}:=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1} \)

gegeben.

Zeigen Sie, dass für alle \( n \geq 1 \) die Ungleichungen

\( a_{n}<a_{n+1}<b_{n+1}<b_{n} \)

gelten.

Answer 1

Zuerst wird gezeigt das die Folge \( a_n \) monoton wachsend ist. Dazu muss gezeigt werden das gilt \( a_n \le a_{n+1} \)
d.h. man muss zeigen das gilt \( \frac{a_{n+1}}{a_n} \ge 1 \) also $$ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\left( 1+\frac{1}{n+1} \right)^{n+1}}{\left( 1+\frac{1}{n} \right)^{n}}=\left( \frac{1+\frac{1}{n+1}}{1+\frac{1}{n}}  \right)^{n+1}\left( 1+\frac{1}{n} \right)=\left( \frac{n(n+2)}{(n+1)^2} \right)^{n+1}\left( 1+\frac{1}{n} \right) $$
$$  =\left( 1-\frac{1}{(n+1)^2} \right)^{n+1} \frac{1}{1-\frac{1}{n+1}} \ge \left(1-\frac{1}{n+1}\right)\frac{1}{1-\frac{1}{n+1}}=1 $$
Die letzte Ungleichung ist die Bernoullische Ungleichung. Also ist \( a_n \) monoton wachsend.

Das die Folge \( b_n \) monoton fallend ist, wird ähnlich gezeigt.

Jetzt ist noch zu zeigen das für jedes Folgenglied der Folge \( a_n \) gilt \( a_n \le b_n \) was aber klar ist, weil \( 1+\frac{1}{n} > 1 \) gilt.

Insgesamt kann man jetzt für alle n und m \( \in \mathbb{N} \) zeigen das gilt
$$  a_n \le a_{max(n,m)} \le b_{max(n,m)} \le b_m $$
D.h \( a \) ist eine monoton wachsende und nach oben beschränkte Folge und \( b \) ist eine monoton fallende nach unten beschränkte Folge. Damit sind \( a_n \) und \( b_m \) konvergente Folgen für die gilt
$$  \lim_{n \to \infty}a_n \le \lim_{n \to \infty}b_n $$
Da gilt \( b_n-a_n=a_n\frac{1}{n}\le b_1\frac{1}{n} \) konvergieren beide Folgen gegen den gleichen Grenzwert und diesen Grenzwert nennt man \( e \)