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Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = 1/4 x^4 - x^2 + 1

Berechnen Sie, welches von allen Dreiecken mit den Eckpunkten A(0 / 9), B(x / f(x)) und C(- x / f(-x)) mit f(x) ≤ 9 maximalen Flächeninhalt hat.


Meine Rechenschritte:


1. EB: A = 1/2 · c · h

2. NB: c = 2x

h = 9 - f(x)

h = - 1/4 x^4 + x^2 + 8

A = 1/2 · 2x · (- 1/4 x^4 + x^2 + 8)

A = - 1/4 x^5 + x^3 + 8x

A ' = - 5/4 x^4 + 3x^2 + 8

- 5/4 x^4 + 3x^2 + 8 = 0

z = x^2

- 5/4 z^2 + 3z + 8 = 0

z^2 - 12/5 z - 32/5 = 0

Rechnung mit pq - Formel:

x = 1,75

Aber was jetzt? Wie soll ich jetzt herausfinden, welches von den Dreiecken den maximalen Flächeninhalt hat?


Gruß

Avatar von

Weiß keiner weiter? Unknown, georgborn, Emre123...

2 Antworten

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Beste Antwort

ich habe deine Aufgabe erst heute morgen ( Mo ) entdeckt.
Ich übernehme von dir.

- 5/4 z2 + 3z + 8 = 0
z2 - 12/5 z - 32/5 = 0
Rechnung mit pq - Formel:
x = 1,75 

Mein Matheprogramm sagt mir
z = -8/5
z = 4
Die Negativlösung entfällt
x^2 = z = 4
x = ± 2
Die Funktion f ( x ) ist achsensymmetrisch zur y-Achse.
Für x = 2 und x =-2 ist die Fläche ( Dreiecke ) gleich.

Aber was jetzt? Wie soll ich jetzt herausfinden, welches von den
Dreiecken den maximalen Flächeninhalt hat?

Du könntest z = 4 in die 2.Ableitung einsetzen.
g := - 5/4 z2 + 3z + 8
g ´= -10/4 * z + 3
g ´( 4 ) = -10 + 3 = -7
2.Ableitung ist negativ also Hochpunkt.
Avatar von 122 k 🚀
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1. EB: A = 1/2 · c · h

2. NB: c = 2x

h = 9 - f(x)

h = - 1/4 x4 + x2 + 8

A = 1/2 · 2x · (- 1/4 x4 + x2 + 8)

A = - 1/4 x5 + x3 + 8x

A ' = - 5/4 x4 + 3x2 + 8

- 5/4 x4 + 3x2 + 8 = 0

z = x2

- 5/4 z2 + 3z + 8 = 0

z2 - 12/5 z - 32/5 = 0

Rechnung mit pq - Formel:

x = 1,75

Aber was jetzt? Wie soll ich jetzt herausfinden, welches von den Dreiecken den maximalen Flächeninhalt hat?

Ist doch fast fertig:   Für x=1,75 wird A(x) maximal
( Ich würde vielleicht noch ergänzen, dass A ' ' (1,75) < 0 ist, also bei x = 1,75 wirklich
ein Maximum und nicht etwa ein Min. vorliegt. )
und dann zurück zum Ansatz   c = 2x und h = 9 - f(x) und dort einsetzen
und die max. Fläche ausrechnen.
und die Ecken sind doch A(0 / 9), B(x / f(x)) und C(- x / f(-x))
also auch hier 1,75 einsetzen und dann hast du die Koordinaten.

Der Zusatz "mit f(x) ≤ 9 " ist auch noch wichtig.
Berechne dir wann f(x) = 9 gilt  dass ist wohl bei +-√(8)
Dann sind 0 und √(8) die Randwerte, des betrachteten Bereiches
aber wenn du das in A(x) einsetzt gibt es Null, also sind
am Rand Minima der Funktion und bei 1,75 ist das ges. Max.
Avatar von 287 k 🚀

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