Stetigkeit beweisen bzw widerlegen, Betragsfunktion

Question

Wir sollen die Stetigkeit beweisen bzw. widerlegen für diese zwei Funktionen.

$g: R \rightarrow R, x \mapsto\left\{\begin{array}{l}{\left|x^{2}-2\right| \text { filr }|x| \geq 1} \\ {3|x|-2 \text { für }|x|<1}\end{array}\right.$

Bei der Betragsfunktion weiß ich leider nicht, wie ich das richtig angehen soll. Ich hätte jetzt gesagt, dass die Funktion für x≠1 stetig ist, und dann den links- und rechtsseitigen lim von x->1betrachtet, leider weiß ich nicht wie ich das machen soll aufgrund des Betrags in der Funktion.

$$h:]0,1[\rightarrow R,x\mapsto \frac { 1 }{ x-1 }$$

Bei dieser Funktion weiß ich leider auch nicht so recht weiter aufgrund des offenen Intervalls.

Answer 1

Es ist ganz einfach: An den Stellen x= - 1 und x=+ 1 (und nur da musst du genauer schauen)

da

→ existiert jeweils der Funktionswert (beidesmal gleich 1)

da

→ existieren links- und rechtsseitige Grenzwerte (beide jeweils gleich 1),

... also existiert jeweils der Grenzwert.

und da Funktionswert und Grenzwert bei x=-1 und bei x=+1 jeweils gleich sind,

folgt

g ist stetig an beiden Stellen ( es existiert dort jeweils aber eine "Knickstelle")

Also, g wird an diesen Stellen nicht differenzierbar sein.

Nebenbei: h(x)= 1/(x-1) ist an jeder Stelle x aus dem Intervall 0 <= x < 1 stetig.

Comments

Beide Teilfunktionen sind stetig.
So auch meine Überlegung.

Daher habe ich die zusammengesetzte Funktion nur an
der Nahtstelle untersucht.

Wozu die Untersuchung bei x = -1 ?

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Wozu die Untersuchung bei x = -1 ?

→  g ist für ALLE x aus R definiert (auch für x=-1)

bei x=-1 hat g die zweite Knickstelle (mal dir doch mal ein Bildchen)

und: falls es dir neu ist: |-- 1 | = + 1

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Unglücklichsterweise habe ich die Betragsstriche im Gültigkeitsbereich glatt übersehen.

Answer 2

x ≥ 1 : f ( x ) = | x² -2 |
x < 1 : f ( x ) = 3 * |x| - 2

lim x -> 1- [ 3 * |x| - 2  ] = 3 * 1 - 2 = 1
x = 1 [ | x² -2 | ]  = | 1 - 2  ] =  | -1 | = 1
lim x -> 1+ [ | x² -2 | ] = 1

Der Stetigkeit dürfte nichts im Wege stehen

Betragsstriche kennst du ?
| 3 | = 3
| -3 | = 3

f ( x ) = 1 / ( x - 1 )
D = ] 0 ; 1 [

Division durch 0 ist nicht definiert
also x ≠ 1
Da die 1 nicht im Definitionsbereich  baucht der
Def-Bereich nicht geändert werden

... ; 1 [   ohne die 1
... ; 1 ]   mit der 1

Comments

x ≥ 1 : f ( x ) = | x² -2 | 
x < 1 : f ( x ) = 3 * |x| - 2

Achtung. Bei der Fallunterscheidung war das x auch in Betragsstrichen.

Daher ignorierst du die Stelle x = -1

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Unglücklichsterweise habe ich
die Betragsstriche im Gültigkeitsbereich
glatt übersehen.

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also müsste man jede Teilfunktion in 2 Fälle betrachten? x²-2 und -x²+2 oder nur x²-2 im Betrag über 1 und -1

ich bin irgendwie ein bisschen verwirrt durch das leicht hin und her in dem thread :S

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In der Aufgabenstellung steht

für -∞ bis -1 gilt  die Funktion  | x² - 2 |
für -1..1 gilt die Funktion  3 * |x| - 2
für 1 .. ∞ gilt die Funktion  | x² - 2 |

Es ist also an den Stellen -1 und 1
nachzuweisen das der Grenzwert der linken
Funktion gleich dem Grenzwert der rechten
Funktion ist.

für x = -1
| (-1)² - 2 | = 3 * |-1| - 2
1 = 1

für x = 1
| (1)² - 2 | = 3 * |1| - 2
1 = 1

Die Funktion ist also stetig.

Answer 3

Beide Teilfunktionen sind stetig. Daher kannst du einfach auf Sprünge an den Sprungstellen kontrollieren.

D.h. setzte in die Teilfunktionen -1 und 1 ein. Es sollte das selbe herauskommen. Daher ist die zusammengesetzte Funktion stetig.

Comments

Beide Teilfunktionen sind stetig.

So auch meine Überlegung.
Daher habe ich die zusammengesetzte Funktion nur an
der Nahtstelle untersucht.

Wozu die Untersuchung bei x = -1 ?

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Ist x = -1 keine Nahtstelle ?

Ok kann man sich schenken, wenn man sieht das beide Funktionen achsensymmetrisch sind. Aber das habe ich ja nicht gesagt.

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Unglücklichsterweise habe ich
die Betragsstriche im Gültigkeitsbereich
glatt übersehen.