Überprüfen, ob folgende Elemente im Körper K existieren...

Question

Aufgabenstellung:

Es sei K ein Körper mit genau 4 Elementen, welche wir mit a, b, c, d bezeichnen.

Ferner gelte: a+b=ab=c. Bestimmen Sie die folgenden Elemente sofern sie existieren.

(Wir sollen für jede der 5 Aufgaben angeben, welche der Elemente a,b,c,d existieren bzw. ob keine Elemente existieren, wobei mehrere Elemente gewählt werden können (Multiple-Choice))

1)  -c

2)  Eins von K

3)  d²

4)  b²

5) b^-1

Ich weiß, das ein Körper K folgende Eigenschaften hat:

1- (K, +) ist eine abelsche Gruppe (Neutrales Element 0)

2- (K / {0], •) ist eine abelsche Gruppe (Neutrales Element 1)

3- Es gelten die Distributivgesetze für alle Elemente des Körpers

Damit kann ich aber leider nicht anfangen. Ich würde mich wirklich freuen, wenn jemand helfen kann.:)

Answer 1

Es sei K ein Körper mit genau 4 Elementen, welche wir mit a, b, c, d bezeichnen.

Ferner gelte: a+b=ab=c. Bestimmen Sie die folgenden Elemente sofern sie existieren.

(Wir sollen für jede der 5 Aufgaben angeben, welche der Elemente a,b,c,d existieren bzw. ob keine Elemente existieren, wobei mehrere Elemente gewählt werden können (Multiple-Choice)) 

wegen a+b=ab=c   sind a und b weder 0 noch 1, sonst müsste ja z.B a+b=b (falls a=0)

              oder (a+b)=a   (falls b=0) sein.  Ebens o mit 1 weil ja +   =   *   

  außerdem ist c nicht Null, denn a*b=0 würde ja a=0 oder b=0 bedeuten.

kann nur c=1 sein  und d=0     also ist -c = -1

1)  -c                       -1

2)  Eins von K       c

3)  d²                    0

für b^2 muss man etwas mehr überlegen:

es gibt ja nun  a , b   ,  1  ,  0  (s.o  c=1  d=0)

es ist ab=1  und c*b==b  und d*b=d   und also muss b*b = a sein .

4)  b^2. = a

5) b^-1 =a  weil ab=1 

Comments

könntes du zu 3 noch einmal erläutern warum das folgt? Also ob das aus einem bestimmten Axiom oä folgt. :)

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Sorry, aber ich habe nicht verstanden, was du meinst. Welche 3 soll ich erläutern. Ich würde mich auf eine schnelle Antwort sehr freuen.

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wegen a+b=ab=c   sind a und b weder 0 noch 1, sonst müsste ja z.B a+b=b (falls a=0)

              oder (a+b)=a   (falls b=0) sein.  Ebens o mit 1 weil ja +   =   *   

  außerdem ist c nicht Null, denn a*b=0 würde ja a=0 oder b=0 bedeuten.

Deshalb ist c=1 ; denn der Körper muss ja eine 1 haben

und für die 0 bleibt dann nur noch d übrig.

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Danke für die Erklärung!

Leider habe ich mich mit der Nummer vertan. Eigentlich meinte ich die Nummer 4.

Falls du noch Lust hast zu erlautern, warum aus ab=1, cb=b und db=d folgt, dass bb=a ist, wäre das sehr nett.

Answer 2

Hast du auch diese Vorgaben ??????????

Es sei K ein Körper mit genau 4 Elementen, welche wir mit a, b, c, d bezeichnen.

Ferner gelte: a+b=ab=c. Bestimmen Sie die folgenden Elemente sofern sie existieren.

(Wir sollen für jede der 5 Aufgaben angeben, welche der Elemente a,b,c,d existieren bzw. ob keine Elemente existieren, wobei mehrere Elemente gewählt werden können (Multiple-Choice)) 

wegen a+b=ab=c   sind a und b weder 0 noch 1, sonst müsste ja z.B a+b=b (falls a=0)

              oder (a+b)=a   (falls b=0) sein.  Ebens o mit 1 weil ja +   =   *   

  außerdem ist c nicht Null, denn a*b=0 würde ja a=0 oder b=0 bedeuten.

kann nur c=1 sein  und d=0     also ist -c = -1

1.) Null von K    ist das d  (s.o.)

2.)  -d                  auch 0

3.) cd       1*0 also 0

4.)c^-1           c=1      alos auch 1  

5.) b+c        b+1

Comments

Bist du dir bei den Antworten sicher? Was ist eigentlich dein Lösungsweg?

Das würde heißen das unter den Optionen a - b - c - d - nicht existiert:

Man für deine 2., 3., 4. und 5. Antwort nicht existiert ankreuzen muss?

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klar existieren die, sie haben halt die angegebenen Werte.

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D.h. von der Logik her wäre

1.) Null von K := d, da d=0 (Antwort d)

2.) -d=0 und da 0=d und daraus -d=d ist die Antwort ebenfalls d (Antwort d)

3.) cd ist 1 mal 0 (flogt aus 1. und 2. Frage) = 0 (=d) (Antwort d)

4.) c^-1 c=1 ==> c^-1 = 1 (Antwort c)

5.) b+c enthält b+1 als Element (Antwort existiert nicht)

Übrigens habe ich als Fragestellung nur denn Teil:

Es sei K ein Körper mit genau 4 Elementen, welche wir mit a, b, c, d bezeichnen.

Ferner gelte: a+b=ab=c. Bestimmen Sie die folgenden Elemente sofern sie existieren.

(Wir sollen für jede der 5 Aufgaben angeben, welche der Elemente a,b,c,d existieren bzw. ob keine Elemente existieren, wobei mehrere Elemente gewählt werden können (Multiple-Choice)) 

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Man kann aber zu jeder Aufgabe nur folgendes ankreuzen:

a⟨ b⟨ c⟨ d⟨ oder existiert nicht⟨

Könntest du dazu etwas sagen?

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bei 5 bin ich anderer Meinung:

b+c   ist die Summe zweier Elemente von K,

die existiert immer.

nicht existieren würde z.B.  d^{-1} .

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Wow, aus der 1 bis 4. Frage habe ich richtigen Rückschluss gehabt ;)

Das d^-1 bei d=0 nicht existiert ist mir klar, aber es gibt als Option a,b,c,d und nicht existiert. b+c existiert aber nicht innerhalb der gegebenen Optionen. Theoretisch=nicht existiert?

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also muss b+1 = a oder b+1 = 0 also = d sein

Da habe ich grad auch keine Idee.

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Ich habe leider immer noch nicht verstanden wie aus deem gegeben Satz ableitbar ist, dass b*b=a ist.

Das c die 1 und d die 0 des Korpers sind verstehe ich

Existiert in dem Körper auch ein -a? Ich kann zumdest nicht aus dem bisher gesagten darauf schließen, oder?

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doch -a muss ja existieren, allerdings kann -a = a sein, wie z.B. im Körper mit 2 Elementen

1+1=0 ist, also -1 =1.