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a) Es sei q ∈ K, wobei K = ℝ oder ℂ ist, beliebig. Zeigen Sie, dass fur alle N ∈ ℕ

die folgende Gleichung gilt:

$$\sum _{ n=0 }^{ N }{ { q }^{ n } } =\quad \frac { 1-{ q }^{ N+1 } }{ 1-q }    $$   (irgendwie krieg ich das mit dem formeleditor nich hin^^ die Reihe ist die Summe von qn und ist gleich (1-qN+1)/1-q )

... Mit Induktion. Habe ich erledigt

b) Zeigen sie dass die Reihe

$$\sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ { q }^{ n } } $$

für |q| < 1 konvergiert und bestimmen sie ihren Wert

...War auch noch einfach : Konvergiert gegen 1/1-q

c) Zeigen sie dass die Reihe

$$\sum _{ n=0}^{ \infty  }{ { q }^{ n } } $$

divergiert falls |q| ≥ 1

Hier kommt nun meine eigentliche Frage :

Wie schreibe ich das nun korrekt auf ?

q muss ungleich 1 sein wegen der Formel aus a

Ich weiß falls q > 1 divergiert die Reihe wegen der Formel aus a gegen ∞

falls q = -1 ist die Reihe = (-1,0,-1,0,-1,0,...) daher divergiert sie (lim inf und lim sup sind verschieden)

falls q <-1 ist die ein Element der Reihe gleich 1 , für n=0

qn ist größer als 0 falls n ist gerade

qn ist kleiner als 0 falls n gerade

und |qn+1| ≥ |qn|

=> Die Reihe divergiert für alle |q| ≥ 1

aber das lässt jawohl noch zu wünschen übrig ich wüsste aber leider auch nicht wie ich das anders aufschreiben könnte.. Hilfe^^

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EDIT: Nun zufrieden mit den TeX-Darstellungen?

Habe drei mal am Zeilenende $$ eingefügt.

1 Antwort

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Hi,
Sei \( S=\sum_{n=1}^N q^n \) dann gilt \( qS-S=q^{N+1}-q  \) und darus folgt
$$ S=\frac{q-q^{n+1}}{1-q} $$
Wahrscheinlich hast Du den Anfangsindex falsch hingeschrieben, der muss bei \( 0 \) beginnen.
Falls \( q=1 \) gilt, ist die Reihe nach oben nicht beschränkt, weil Du unendlich oft \( 1 \) addierst.
Falls \( q=-1 \) ist sind die Folgenglieder \( 1, -1 , 1, -1, ....  \) damit gibt es zwei Häufungspunkte und die Folge ist nicht konvergent.

Avatar von 39 k

ja stimmt der Anfangsindex sollte 0 sein schade dass ich die Frage nicht mehr bearbeiten kann >.> naja könntest du mir vielleicht sagen wie ich meinen aufgabenteil c korrekt aufschreiben kann?

EDIT: n=0 unter Summenzeichen korrigiert.

Wenn \( q > 1 \) ist ist Deine Argumentation richtig und für \( |q|=1 \) habe ich schon geschrieben warum die Reihe divergiert. Also liegt Divergenz für \( |q|\ge1 \) vor.

danke erstmal :)  aber was ist mit dem fall q < -1? kann ich das auch so dahinschreiben wie oben?

Du hast doch nur die folgenden Fälle

(a) \( |q| < 1 \) Da liegt Konvergenz vor, weil \( \lim_{n\to\infty} q^n = 0 \) gilt
(b) \( |q| = 1 \) Da liegr Divergenz vor, wie oben beschrieben
(c) \( |q| > 1  \) da liegt ebenfalls Divergenz vor wie oben beschrieben

Damit sind alle Fälle abgedeckt.

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