Reihen auf Konvergenz untersuchen (wzl-kt und ?)

Question

Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz

a) \( \sum \limits_{n=2}^{\infty}\left(\frac{1}{n-\sqrt{n}}\right) \)
b) \( \sum \limits_{n=0}^{\infty}(\sqrt{n}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}))^{n} \)

Hey Leute, kann mir jemand bei diesen 2 Aufgaben helfen? Ich komme grade iwie überhaupt nicht weiter. Wäre echt mega, wenn jemand musterlösungen aufschreiben könnte, wäre ehrlich sehr dankbar! :))

Die b) habe ich mit dem wurzelkriterium versucht zu lösen, nur bin ich mir da auch etwas unsicher, ob mein Ergebnis richtig ist oder nicht :D

Answer 1

Aloha :)

zu a) Wenn man den Nenner vergrößert, verkleinert man einen Bruch:$$\sum\limits_{n=2}^\infty\frac{1}{n-\sqrt n}>\sum\limits_{n=2}^\infty\frac 1n\to\infty$$Die harmonische Reihe divergiert bekanntlich.

zu b) Die einzelnen Summanden kannst du gegen \(\left(\frac12\right)^n\) abschätzen, denn$$a_n=\left(\sqrt n\cdot\left(\sqrt{n+1}-\sqrt n\right)\right)^n=\left(\sqrt n\cdot\frac{\left(\sqrt{n+1}-\sqrt n\right)\left(\sqrt{n+1}+\sqrt n\right)}{\left(\sqrt{n+1}+\sqrt n\right)}\right)^n$$$$\phantom{a_n}=\left(\sqrt n\cdot\frac{(n+1)-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt n}\right)^n=\left(\sqrt n\cdot\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt n}\right)^n<\left(\sqrt n\cdot\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt n}\right)^n$$$$\phantom{a_n}=\left(\sqrt n\cdot\frac{1}{2\sqrt n}\right)^n=\left(\frac12\right)^n$$

Mit Hilfe der geometrischen Reihe ist dann klar:$$\sum\limits_{n=0}^\infty a_n\le\sum\limits_{n=0}^\infty\left(\frac12\right)^n=\frac{1}{1-\frac12}=2$$

Comments

Dankeschön, hilft mir grade enorm!! Wirklich danke!

Answer 2

Hallo

1. mit Summe des Nenners erweitern, dann konvergente Majorane oder divergente Minorante  finden#

 2. wieder mit der 3 .binomischen Formel erweitern , besser zuerst die innere Klammer ausmultiplizieren

Und nenn deine Ergebnisse, Wenn du unsicher bist!

Gruß lul

Comments

Okay, mache ich, danke!