Question

Berechnen Sie die komplexe Zahl i^{4711}

Die Lösung lautet \( -i \). Aber warum?

Also ich erkläre mir das bis jetzt so:

\( i^{4711}=\sqrt{-1}^{4711}=\sqrt{-1}^{3}=\sqrt{-1} * \sqrt{-1} * \sqrt{-1}=-\sqrt{-1}=-i \)

Weil 4711 ja eine genauso ungerade Zahl ist wie 3. Und da das bei der Multiplikation von 1 ja keine Rolle spielt, denke ich, geht das auch so. Kommt das hin?

Answer 1

Weil 4711 ja eine genauso ungerade Zahl ist wie 3. Und da das bei der Multiplikation von 1 ja eh keine Rolle spielt, denke ich mal, geht das auch so ... 

4713 ist auch ungerade wie die die 3, aber \(i^{4713}=+i\)

Das einzige was man hier an Wissen braucht ist \(i^1=i,i^2=-1,i^3=-i,i^4=1, \ldots\) und eine paar Potenzregeln:

$$i^{4711}=i^{2\cdot 2350}i^{11}=(-1)^{2350}\cdot i^4 \cdot i^4\cdot i^3=i^3=-i$$

Comments

Ich versteh die letzte Zeile nicht ganz. Ich kenne die Potenzregeln, aber wieso hast du das jetzt genauso zerlegt?

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Du kannst das auch wie du willst zerlegen:

$$i^{4711}=i^{8 \cdot 500 }\cdot i^{711}=\left(i^{2 \cdot 4}\right)^{500}\cdot i^{711}=1^{500} \cdot i^{711}=\ldots$$

Ich wollte es nur einigermaßen so kurz wie möglich halten.  

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Ja, aber warum muss ich dann auf -i kommen?

Ich kann doch nicht

i^4713 = i^4700 * i ^10 * i^3 = i^3 = -i

sagen ...

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Waren wir nicht bei 4711 Echt Kölnisch Wasser

$$i^{4700}=i^{2 \cdot 2350}=(i^2)^{2350}=(-1)^{2350}=1$$

$$i^{10}=i^4i^4i^2=\ldots$$

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Ehrlich gesagt, weiß ich nicht, was du mir sagen willst.
Halbiert man also immer den Exponenten, oder wie?

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Nein, man zerlegt den Exponenten und wendet das an, was ich in der ersten Antwort geschrieben hatte.

$$i^1=i,i^2=-1,i^3=-i,i^4=1,i^5=i \cdot i^4=i, \ldots$$

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Aber nach welchen Vorschriften zerlegt man den Exponenten?

Weil i^4711 ist ja dasselbe wie i^4707+4. Woher weiß ich, dass ich letztlich auf i^3 kommen muss, um -i zu erhalten?

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Man macht es sich so einfach wie möglich. Klar ist \(i^{4711}=i^{4707+4}=i^{4707}\cdot i^4=i^{4707} \cdot 1\).

Aber man versucht den Exponent so zu zerlegen, das einem die Lösung ins Auge springt. Aber ein Rezept wie im Kochbuch gibt es nicht.

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Okay, diese Zerlegung wirkt auf mich grad ein bisschen willkürlich.
Trotzdem danke.

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Wenn du eine kürze oder bessere findest melde dich bitte.

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Ich habe nicht explizit deine gemeint, sondern ganz grundsätzlich dieses Verfahren.