Lineare Unabhängigkeit mit Vektoren: a:= (1+i;2), b:= (5i;4+i). Zeige dass a und b im ℂ^2 linear unabhängig sind.

Question

a:= (1+i;2) b:= (5i;4+i) und x:=(1+10i;13)

a) zeigen sie dass a und b im ℂ² linear unabhängig sind.

b) zeigen sie dass sich x als linearkombination der vektoren a und b schreiben lässt, indem α und β∈ ℂ so angeben, dass x= αa+βb

Answer 1

Hier mal b) (Bitte sorgfältig nachrechnen)

a:= (1+i;2) b:= (5i;4+i) und x:=(1+10i;13)

b) zeigen sie dass sich x als linearkombination der vektoren a und b schreiben lässt, indem r und s∈ ℂ so angeben, dass x= ra+sb

r(1+i) + s(5i) = 1 + 10i            (I)

r*2 + s(4+i) = 13               (II)

--------------------------------------

r*2(1+i) + s(10i) = 2 + 20i            (I)' = 2*(I)

r*2(1+i) + s(4+i)(1+i) = 13(1+i)             (II)' = (1+i)*(II)

--------------------------------------------- (II)' - (I)'

s(4+i)(1+i) - s(10i) = 13 + 13i - 2 -20i

s ( 4 + 5i - 1) - s(10i) = 11 - 7i

s(3 - 5i) = 11--7i

s = (11 - 7i)/(3-5i)

= ((11-7i)(3+5i))/(9 + 25)

= ( 33 + 55i - 21i + 35)/(34)

= (68 + 34i)/34

s= 2 + i.

Einsetzen in

r*2 + s(4+i) = 13               (II)

2r + (2+i)(4+i) = 13

2r + (8 + 6i - 1) = 13

2r = 6 - 6i

r = 3 - 3i.

Comments

danke das du dich darum bemüht hast aber ist das a oder b

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a:= (1+i;2) b:= (5i;4+i) und x:=(1+10i;13)

a) zeigen sie dass a und b im ℂ² linear unabhängig sind.

Ansatz Zeige r*a = b ist nicht lösbar.

r*(1+i) = 5i    (I)r*(2) = 4+i     (II)----------------------(II) ==> r = 2 + i/2
einsetzen in (I)
(2 + i/2)(1+i) = 2 + 2.5i - 1/2 ≠ 5i.      Hier ist der gesuchte Widerspruch.

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Das oben war b) ich hatte da nur ALPHA und BETA in r und s umbenannt.