Für die reellen Zahlenfolgen gelte an ≤ bn... Zeige dass u.a. lim an ≤ lim bn.

Question

Für die reellen Zahlenfolgen \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) und \( \left(b_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) gelte

\( a_{n} \leq b_{n} \quad \text { für alle } n \in \mathbb{N} \)

Außerdem sei die Folge \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) monoton wachsend und \( \left(b_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) sei monoton fallend. Zeigen Sie, dass beide Folgen konvergieren und dass

\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n} \leq \lim \limits_{n \rightarrow \infty} b_{n} \)

gilt.

Answer 1

Eine monoton wachsende beschränkte Folge hat in den rellen Zahlen eine kleinste obere Schranke, sei diese \(a\). Sei \(\epsilon > 0\), dann existiert ein \(N\in \mathbb{N}\), s.d. \(a-\epsilon < a_{N}\), da \(a\) minimal gewählt war. Da \(a_{n}\) monoton wächst gilt \(a-\epsilon < a_{N} \leq a_{n} \leq a < a+\epsilon\), also insgesamt \(|a_{n}-a|< \epsilon\) für alle \(n \geq N\). Insbesondere ist \(a\) der gesuchte Limes von \(a_{n}\). Analog argumentiert man für den monoton fallenden Fall und die größte untere Schranke. Damit ist auch die Abschätzung für die Limiten klar.