Beweisen Sie mit dem Basisergänzungssatz, dass es eine Hyperebene H ⊂ V gibt, welche den Untervektorraum U enthält

Question

Bitte bitte bitte helft mir

Die Aufgabe lautet:
Sei V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum, U ⊂ V ein Untervektorraum und a ∈ V ein Vektor,
der nicht in U enthalten ist.
Beweisen Sie mit dem Basisergänzungssatz, dass es eine Hyperebene H ⊂ V (♣) gibt, welche den
Untervektorraum U enthält, aber nicht den Vektor a.

((♣)Ein Untervektorraum H ⊂ V mit dim(H) = dim(V)-1, nennt man auch Hyperebene.)

Brauche Hilfe, weiß echt nicht was zu tun ist und bin schon am verzweifeln..
Danke schonmal

Answer 1

sei V n-dim. und U k-dim.
und u1 ,...., uk eine Bais von U.
da  a nicht in U ist u1, ..., uk , a
ein System von k+1 lin. unabh. Vektoren.
Dieses kann durch
vk+2 , ...... , vn zu einer Bais von V ergänzt werden.
Dann ist das Erzeugnis von u1,...,uk, vk+2,    vn der gesuchte (n-1)-dim Unterraum H